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統計学の区間推定についての質問です。

skd********さん

2018/2/619:30:31

統計学の区間推定についての質問です。

あるベルヌーイ試行を4000回行ったところ、そのうち100回成功したとします。ここからさらに30回成功するまでに行うことになる試行回数の95%信頼区間を求めたいのですが、どのようにすればいいのでしょうか?どなたかよろしくお願いいたします。

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qas********さん

2018/2/719:06:23

成功確率pを100/4000と推定して、成功確率1/40の負の二項分布の2.5%点と97.5%点の区間から、785回から1630回とするのが一番簡単そうですが、1/40の不確かさが反映されないのが気になりますね。

別の方法で、95%信頼区間とは異なるのですが、ベイズ統計の95%確信区間を使って推定してみます。

成功確率pの事前分布は一様であるとしたとき、4000回の試行中100回成功したという情報Dを得た後のpの事後分布は、ベイズの定理を用いて
f(p|D) = C(4000,100)・p^100・(1-p)^(4000-100)・1 / k
と表すことができます。
ただし、
C(n,r) = nCr = n!/(r!(n-r)!))
kは定数で
∫_0^1 f(p|D) dp = 1
となるようなkで
k = ∫_0^1 C(4000,100)・p^100・(1-p)^(4000-100) dp
= C(4000,100)・∫_0^1 p^(101-1)・(1-p)^(3901-1) dp
= C(4000,100)・Beta(101,3901) (ただし、Betaはベータ関数)
です。
こうして
f(p|D) = p^100・(1-p)^3900 / Beta(101,3901) (0 < p < 1)
が得られます。

成功確率がpであるとき、30回成功するまでの試行回数がnである確率は
g(n|p) = C(n-1,29)・p^30・(1-p)^(n-30) (n = 30, 31, …)
ですので、4000回中100回成功という情報があったときの30回成功するまでの試行回数の分布を次のように求めることができます。
h(n|D) = ∫_0^1 g(n|p)f(p|D) dp
= ∫_0^1 C(n-1,29)・p^30・(1-p)^(n-30)・p^100・(1-p)^3900 / Beta(101,3901) dp
= (C(n-1,29) / Beta(101,3901))・∫_0^1 p^130・(1-p)^(n+3870) dp
= C(n-1,29)・Beta(131,n+3871) / Beta(101,3901)
= {(n-1)!・130!・(n+3870)!・4001!} / {29!・(n-30)!・(n+4001)!・100!・3900!}
= (3030/131n){C(131,30)・C(n+3870,n-30)} / C(n+4001,n)

これは手計算では難しいので、統計ソフトR(https://www.R-project.org/)を使って、グラフの作成と95%確信区間を求めてみました。
添付のような分布になり、95%の確率で776回から1744回試行する必要があることが分かります。


【スクリプト】
h <- function(n)
{
vapply(n, function(x) 3030/131/x*dhyper(30,131,x+3870,x), 0)
}

n <- 1:3000
prob <- h(n)
plot(prob ~ n, type = "l", xlab = "30回成功までの試行回数", ylab = "確率")

sum(prob[1:775])
sum(prob[776:1744])
sum(prob[1745:3000])


【実行結果】
> sum(prob[1:775])
[1] 0.02494086
> sum(prob[776:1744])
[1] 0.9501391
> sum(prob[1745:3000])
[1] 0.02491941

成功確率pを100/4000と推定して、成功確率1/40の負の二項分布の2.5%点と97.5%点の区間から、785...

質問した人からのコメント

2018/2/10 21:28:09

丁寧な解説、ありがとうございます!助かりましたm(_ _)m

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