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相加相乗平均と制約条件についての疑問です。 以下の(1)~(4)が相加相乗平均で...

相加相乗平均と制約条件についての疑問です。

以下の(1)~(4)が相加相乗平均で求まるなら、求めて下さい。
相加相乗平均で駄目な場合には、その理由を詳しくお願いします。

(1) a≧0、b≧0、a+b=1のとき、abの最大値。
(2) a≧0、b≧0、a+b=1のとき、a^3+b^3の最小値。
(3) x≧0、a=x^2、b=2x+1のとき、a+bの最小値。
(4) x≧0、a=x^2+2x+3、b=1/aのとき、a+bの最小値。

相加相乗平均を使える場合と使えない場合の、
きちんとした線引きが出来ますか?
全要素が相互に無関係なら成立はしますが、
相互に関する制約条件がある時が疑問です。
単に無理だろうね、ではなくて、
詳しい理由をお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ccx********さん

2018/3/3122:55:01

途中説明を省略気味なところはありますが、自分なりの答えを作ってみました。
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/drive/folders/1nF-IyqV-miJDBahJDxlQ0Y7I1-0...

  • 2018/4/102:26:41

    ccx********さん  こんばんは
    早速のご解答ありがとうございます。

    作問者としての私自身ですから
    ご解答にありますように、要素どうしを
    いかにずらすかを考えて、xと絡めました。

    ですから、本来xで考えたら、仰せの通りなんですが
    よく学生も間違って、相加相乗を使ってしまいがちで
    何故まずいのか?つまり、相加相乗を使ったら
    どのように不具合が生じて、それは
    相加相乗を使ったどこの部分に不具合がいかに生じたのかを
    ご説明頂けたらありがたいのです。

    xでの解説は、内側から熟考した解析でよくわかります。
    では、外側の相加相乗側から見たら、なんで、どこが、おかしいの?
    これを学生にいかに説明するかなんです。

    (1)は、左辺の相加平均部分に、a+b=1そのものがありますから
    相加相乗の不等式そのものが右辺のabの上限を与えてくれてます。

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質問した人からのコメント

2018/4/5 12:28:04

ccx********さん
一緒に考えて下さりありがとうございました。
◆2√ab が仮に最小値mを取るとしたときに、
a+b≧2√ab
2√ab≧m
の等号が同時に成立すること。
この一言で、腑に落ちました!感謝です。
◆相加の上限を考えることもありますね。

◆自称の側帯波関数f(x)^nでもお付き合い頂きました。
◆面白い課題ありましたらご提示下さい。

長崎市 mories 69歳

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