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数列の和で定義された漸化式の問題で、

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ID非公開さん

2018/5/2302:31:23

数列の和で定義された漸化式の問題で、

Sn=2an+n を満たすanを求めよみたいな問題あるじゃないですか。
そのときに、私が持ってる参考書では大体、
n≧2のとき、Sn-1=2an-1+(n-1)との差をとってるんですが、なんでそんなめんどくさいことするんですか?
Sn+1=2an+1+(n+1) との差をとったら、
n≧2なんてしなくてもいいのに、なぜ前者が多いんですか?後者は論理的に誤っているのでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/5/2302:55:39

僕はそうやっていましたし、そこでのミスはありませんでした。
なぜ前者にするかですが、Sn-Sn-1=anを教科書で「性質」としたため、「その形にせねば」感が強くなってしまったのではないでしょうか…?
後者の論理的ミスはないので大丈夫ですよ。

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kenaさん

2018/5/2314:36:25

Snから一般項を求めるときはS(n-1)を引いたほうが簡単ですが、漸化式を求めるときはSnを引いたほうが簡単です。
なぜS(n-1)を引く方法が多いのかというのは、教科書には「an=SnーS(n-1) 、n≧2」が「公式」として載っているので、これを直接使ったほうが説得力があるからです。S(n+1)ーS(n)の場合も明らかにわかることですが、教科書に公式として載っていない以上は、なんの説明もなく使ってはいけません。したがって、参考書などでは、いちいちそんなことは書いていられないし、問題によってやり方を変えると、混乱してしまう人もいるでしょう。したがって、少々面倒でも、一貫したやり方で書くほうが、読んだ人がわかりやすいことはあるでしょう。参考書は数学ができる人からあまり得意でない人までいろいろな人が利用しますので、「ベスト」な解答を載せることがいいとは限りません。できるだけ多くの人が理解しやすいような「ベター」な解答を載せているわけですので、その辺は理解して利用したらいいと思います。

kal********さん

2018/5/2312:17:52

模範解答は条件がつく代わりにいきなりanがでる。自分でやった方は条件が最初つかない代わりにa[n+1]がでるからanに変換しないといけなくなり、そのときに条件がくっつく。

Sをanに変換する処理と条件を追加する処理を一度にするか、分けるかの違い。分けた方が分かりやすい。ただし参考書は記述するスペースがないから前者が多い。

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yam********さん

編集あり2018/5/2307:01:16

S_{2} - S_{1} = a_{2}
S_{3} - S_{2} = a_{3}
S_{4} - S_{3} = a_{4}
・・・・・・・・・
S_{n} - S_{n-1} = a_{n}
S_{n+1} - S_{n} = a_{n+1}

これらの操作から、
a_{n} を直接求めるには、

S_{n} - S_{n-1} = a_{n}

を用いれば良いことが分かり、
さらに、上向きに辿れば、
S_{n} と a_{n} の n は、
n = 2 からの添え字を代表していることが分かります。
n = 1 から適用するためには、

S_{n+1} - S_{n} = a_{n+1}

この行を用いることになりますが、
この場合も先と同様に、a_{2} から始まります。

S_{n+1} - S_{n}
= 2a_{n+1}+(n+1) - 2a_{n}-n

これが a_{n+1} ですから、

a_{n+1} = 2a_{n} - 1

という漸化式が得られますが、
この式が成り立つのは n=2 からです。
分かりますか?
S_{n-1} だと n=1 のときに S_{0} になるからダメとか、
S_{n+1} だと n=1 でも大丈夫とか、
そんな理由ではないんです。
ひとつ、例を挙げてみましょう。
上の段が数列で、下の段が S です。
この式は、n ≧2 で、
Sn=2a_{n}+n
a_{n+1} = 2a_{n} - 1
を満たしています。

5, 3, 5, 9, 17, 33

5, 8, 13, 22, 39, 72

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前者でも後者でもOKですが、
いずれにしても、
それらのSn絡みの式が定義されるための範囲として、
前者SnとSn-1では:n≧2
後者Sn+1とSnでは:n≧1 を書かねばなりません。

つまり、
◆Sn-1を扱うなら、S0はあり得ないから、
◆臨機応変に、n≧2とするわけです。

「初項a1が和Snで成り立っている式ではない」ことは、
覚えておいて、気配りしましょう。
このことと、n≧2かどうかは、別の話です。

◆n≧2である理由は、Sn-1を扱うからに他なりません。
誤解なさらないで、きちんと理解してください。

初項a1が和Snで成り立っている式ではないというのは、
結果論であって、Sn=Sn-1+anという式から
an=Sn-Sn-1 となり、このSn-1のためにn≧2ですから、
◆Snからanを導いたときには、n≧2なのです。

◆初項a1は別途、初期条件として与えてあって、
その初項a1が、結果として、Snから導かれたanの式(n≧2)で
n=1とおいてみたら、成立するなら、

◆Snから導かれたanの式(n≧2)で
最後にn=1も含むと書くわけです。
ーーー
※漸化式を作って解くのですから、

あなたが仰るように、n≧1のままで
S[n+1]=2a[n+1]+(n+1)
S[n]=2a[n]+(n) が良いでしょう。

両辺どうしの差を取って、
S[n+1]-S[n]=a[n+1]を適用すれば
a[n+1]=2a[n+1]-2a[n]+1
a[n+1]=2a[n]-1

定数型の2項漸化式になり
特性方程式:
α=2α-1 (α=1)を引いて

(a[n+1]ーα)=2(a[n]ーα) (公比:2)
一般項:(a[n]ーα)=2^(n-1)*(a[1]ーα)
a[n]=α+2^(n-1)*(a[1]ーα)
ここで、初項a[1]とαを代入して、
完了します。
ーーー
※結論

臨機応変に
SnとSn-1では:n≧2
Sn+1とSnでは:n≧1
を使いこなしてください。

漸化式を作るなら、後者がお勧めでしょう。

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zet********さん

2018/5/2304:31:42

たまに a[1] が 差をとってもとめた式に当てはまらない設問がある。
2 ≦ n は数列の和において成り立っている式。
n = 1 つまり初項は和で成り立っている式ではない。
求めた式に当てはめるとたまたま一致したというだけのこと。

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