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7で割ると5余り、9で割ると7余り、11で割ると3余る自然数のうち3番目に小さいもの...

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ID非公開さん

2018/6/2519:41:30

7で割ると5余り、9で割ると7余り、11で割ると3余る自然数のうち3番目に小さいものを求めよ。

?を書いた部分から理解ができませんでした

3余る自然数,B2,M-1,K2,C2,整数,小さいもの

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hir********さん

2018/6/2520:04:38

N=7a+5=9b+7=11c+3、となる。

・7a=9b+2を解くと、特別解が(a、b)=(-1、-1)だから、
7(a+1)=9(b+1)、と変形出来る。
9と7は互いに素から、kを整数として、a+1=9k、b+1=7k‥‥①

・9b+4=11cを解くと、特別解が(b、c)=(2、2)だから、
9(b-2)=11(c-2)、と変形出来る。
9と11は互いに素から、mを整数として、b-2=11m、c-2=9m‥‥②

・①と②から、b=11m+2=7k-1。→ 11m+3=7k。
特別解が(m、k)=(1、2)だから、11(m-1)=7(k-2)、と変形出来る。
11と7は互いに素から、nを整数として、k-2=11n、m-1=7n‥‥③

以上から、③より、
a=9k-1=99n+17、b=7k-1=77n+13、c=9m+2=63n+11 ‥‥④

従って、④から、
N=7a+5=9b+7=11c+3=693n+124.
これが自然数だから、693n+124≧1 → n≧0。
従って、3番目に小さいのは n=2だから、N=693n+124=1510.

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