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大学力学です 質量がm1とm2の2質点が、自然の長さl0で弾性定数kのばねで結ばれて...

mak********さん

2018/8/813:20:56

大学力学です
質量がm1とm2の2質点が、自然の長さl0で弾性定数kのばねで結ばれてなめらかな水平面上で振動している。このとき運動エネルギーは、質点間距離の平衡値l0からのずれをxとして、1/2×μ×(dx/dt)^2で与え

られることを示せ、μは換算質量である。

この問題の解説をお願いします
答えには1/2(m1+m2)(dR/dt)^2もあったのですが、それがゼロにならないと問題のとおりにならないと思うんですが、解説お願いします

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ken********さん

2018/8/815:00:10

mak********さん

2つの質点のx座標をx1, x2 とすると、
重心の座標xo は、
xo=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)

この重心をx座標の原点とすれば、xo=0 より、
m1x1+m2x2=0

両辺を時間t で微分して、
m1(dx1/dt) +m2(dx2/dt) =0 …①

2質点の振動の中心間の距離がLo であることから、
x2-x1=Lo+x

これも両辺を時間t で微分して、
dx2/dt -dx1/dt =dx/dt …②

①に②の(dx2/dt) を代入して、
m1(dx1/dt) +m2 [(dx1/dt)+(dx/dt)] =0

(m1+m2)(dx1/dt) +m2(dx/dt)=0

dx1/dt =-m2(dx/dt)/(m1+m2) …③

同様にして、
dx2/dt =-m1(dx/dt)/(m1+m2) …④


よって、両質点の運動エネルギーの和K は、
K=(1/2)m1(dx1/dt)^2 +(1/2)m2(dx2/dt)^2

2K=m1 [m2(dx/dt)/(m1+m2)]^2 +m2 [m1(dx/dt)/(m1+m2)]^2

=m1m2(m2+m1) [(dx/dt)/(m1+m2)]^2

=[m1m2/(m1+m2)] (dx/dt)^2

=μ (dx/dt)^2

∴ K=(1/2)μ (dx/dt)^2


となります。

質問した人からのコメント

2018/8/8 20:58:07

御丁寧にありがとうございます。
早速解釈してみます

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

chi********さん

2018/8/815:00:52

m1x1''=k(x2-x1)
m2x2''=-k(x2-x1)
変形して
x1''=(k/m1)(x2-x1)
x2''=-(k/m2)(x2-x1)
辺々引いて
x2''-x1''=-k(1/m1+1/m2)(x2-x1)
ここで
x=x2-x1
1/μ=(1/m1+1/m2)
とおくと
μx''=-kx
変形して
μx''+kx=0
xで両辺を積分して
μV^2/2+kx^2/2=一定

よって
運動エネルギー
K=μV^2/2=μ(dx/dt)^2/2

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