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フーリエ変換についてです。 解いていただきたいです。 お願いいたします。 見...

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ID非公開さん

2018/8/2417:00:03

フーリエ変換についてです。
解いていただきたいです。
お願いいたします。
見にくいところがあったらいってください。

フーリエ変換,見にくいところ,exp,d2f,DX2,iωx,dτdx

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MAHUXINGさん

2018/8/2522:13:25

(1)∫(-∞,+∞)d2f(x)/dx2*exp(-iωx)dxは部分積分を使うと次のようになる。
=[df(x)/dx*exp(-iωx)](-∞,+∞)+iω∫(-∞,+∞)df(x)/dx*exp(-iωx)dx
x→±∞でf(x)→0よりdf/dx→0だから
=iω∫(-∞,+∞)df(x)/dx*exp(-iωx)dx =iω([f(x)*exp(-iωx)](-∞,+∞)+iω∫(-∞,+∞)f(x)*exp(-iωx)dx)=-ω^2*F(ω)

(2) ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(τ)g(x-τ)exp(-iωx)dτdx
=∫(-∞,+∞)f(τ)∫(-∞,+∞)g(x-τ)exp(-iωx)dxdτ
∵x-τ=Xと置くと、
∫(-∞,+∞)g(x-τ)exp(-iωx)dx=∫(-∞,+∞)g(X)exp(-iω(X+τ))dX=G(ω)*exp(-iωτ)
∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(τ)g(x-τ)exp(-iωx)dτdx=∫(-∞,+∞)f(τ)G(ω)*exp(-iωτ)dτ
=G(ω)*∫(-∞,+∞)f(τ)*exp(-iωτ)dτ=F(ω)*G(ω)

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