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数学の問題についての質問です a1,b1は実数で、数列an,bnが漸化式 an+1=√3a...

oku********さん

2018/9/1111:11:02

数学の問題についての質問です


a1,b1は実数で、数列an,bnが漸化式
an+1=√3an+bn
bn+1=-an+√3bn n=1,2,3・・・
を満たす。これらに対して複素数zn
zn=an+ibn n=1,2,3・・・

で定める。

(1) zn+1をznを用いて表せ。
(2) an^2+bn^2=1のとき、複素数平面
の3点0、zn、zn+1を頂点とする、
三角形の面積を求めよ。
(3) a1=1,b1=0のとき、b2018を求めよ。

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2018/9/1111:58:47

1)

a[n+1]=√3a[n]+b[n]
b[n+1]=-a[n]+√3b[n]
n:自然数

z[n]=a[n]+i・b[n]

z[n+1]=a[n+1]+i・b[n+1]
={√3a[n]+b[n]}+i{–a[n]+√3b[n]}
=√3{a[n]+i・b[n]}–i{a[n]+ib[n]}
=(√3–i){a[n]+i・b[n]}
=(√3–i)z[n]

2)

a[n]^2+b[n]^2=12

z[n]z[n]*=1

|z[n]|=1

*:共軛複素数


z[n+1]=2(√3/2+i(–1/2))・z[n]
=2・{cos(–π/6)+i・sin(–π/6)}・z[n]

よって

|z[n+1]|=2・|{cos(–π/6)+i・sin(–π/6)}|・|z[n]|
=2・1・1
=2

複素平面上でz[n+1]とz[n]のなす角はπ/6なので

3点0、z[n]、z[n+1]を頂点とする、三角形の面積
=(1/2)|z[n]||z[n+1]|sin(π/6)
=(1/2)・1・2・1/2=1/2


3)

z[n+1]=2・{cos(–π/6)+i・sin(–π/6)}・z[n]

z[n]=2^(n-1){cos((n-1)11π/6)+i・sin((n-1)11π/6)}・z[1]

z[2018]=2^(2018-1){cos((2018-1)11π/6)+i・sin((2018-1)11π/6)}・(1+0i)

だから

b[2018]=2^(2017)・sin((2017)11π/6)

(2017)11π/6=3696π+ 11π/6
だから

b[2018]=2^(2017)・sin(11π/6)=2^(2017)・(-1/2)=–2^2016

m(._.)m

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