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高校数学 数学的帰納法ではなぜいけないのか教えてください。 が問題です。

gim********さん

2018/10/1111:01:35

高校数学 数学的帰納法ではなぜいけないのか教えてください。

が問題です。

http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=1993&v3=1&v4...


n:2以上の自然数
f(x)=x^n+px+q (p,qは実数)
I=1/2 ・∫[-1,1]{f(x)}^2dx
を考える。
Iを最小にするような(p,q)が唯一組存在することを示し、
そのような(p,q)とIの最小値を求めよ。

解答はnを偶奇について場合分けして答えを求めてあります。


以下が質問です。
Iを最小にするような(p,q)が唯一組存在することを示し
とあるので、n≧2のすべての自然数について示さないといけないと思い、帰納法を考えたのですが、なぜnだけで答えとしてよいのでしょうか。
教えてください。お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

dma********さん

2018/10/1117:24:03

Iの最小値とそのときの組(p, q)を求めよ。
っていうのが大雑把な題となる。
唯一性は、最小値や組を求める前に示すより、求めた後に示した方が楽そうなので、方針としては後で示そうってなると思う。

求値問題で帰納法が機能するかっていうと中々難しいと思う。

n=kのときに、Min Ik かつ(pk, qk)を仮定して、n=k+1のときにMin Ik+1かつ(pk+1, qk+1)を示す構造になるんだろうけど、最小値や(p, q)がnに依存すること、つまりnで表せる必要がある。
要は、kとk+1に関係がないと帰納法は機能しないでしょう。
そして、最小値や(p, q)がnで表せれるなら既に答えが出てるのと同じだよ。
もちろん、求めた答えが同値変形から導いてないとか、推測したような場合は、その答えが確かに正しいことを帰納法で示すのも良いだろうけどね。

本問だと貴方は何を仮定したんだろう?
それを明示すればもっと納得感があるんじゃないかな。

本問だと、最小値、組、組の唯一性の3つが候補になるし、3つ同時にやるかもしれないけど、一体何を帰納法で証明しようとしたの?

  • 質問者

    gim********さん

    2018/10/1117:46:27

    試行段階で、n=kを考えたときに、偶関数と奇関数での問題だな、と気づき、偶奇で場合分けしてIをkを用いて表しました。
    しかし、これではn=kという特殊な場合でのみしか(p,q)の唯一性を示せていないのではないか?と思ってしまい、一般のすべての自然数nについて示さないといけないことから、帰納法という結論に達しました。しかし、IkとIk+1に関する関係性が見いだせず、手詰まりして質問した、という流れです。

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質問した人からのコメント

2018/10/13 10:37:26

皆様、ご丁寧に回答本当にありがとうございました。数学的帰納法において、曖昧な使用基準だったので、以後隣項間の関係が使えそうなとき試行してみます。

質問してよかったです。

ベストアンサー以外の回答

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mur********さん

2018/10/1116:50:44

実数の範囲での証明と自然数の範囲での証明の違いでしょう。

jmt********さん

2018/10/1114:55:30

既に出ているけど「nを含む証明は帰納法」という考えは捨てること

例題
すべての自然数nに対してn(n+1)は偶数であることを示せ

わざわざ帰納法を使うまでもなくnとn+1の片方は偶数だから、と言えば終わりでしょう

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ken********さん

2018/10/1113:15:18

すべての自然数nについて成り立つことを示すのに、必ず帰納法を使わないといけないわけではありません。あくまでも帰納法は1つの方法にすぎません。

例えば、(n+1)(n+2)=n^2+3n+2がすべて自然数nで成り立つことを示すとき、わざわざ帰納法は使わないでしょう。左辺を変形して、右辺と一致することを示したらおしまいです。

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hig********さん

2018/10/1112:12:14

>n≧2のすべての自然数について示さないといけないと思い
はい.そうしなくてはなりません.しかし

>帰納法を考えた
これが解せません.
帰納法を使うのならば,k番目の仮定のもとでk+1番目を示す手続きが必要ですが,この問題についてはk番目とk+1番目をつなぐ式はありませんし,関連もありません.

>なぜnだけで答えとしてよいのでしょうか。
それだけで答えが出るからです.当然nの偶奇で場合わけが要りますが.

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