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x^2-xy+2y^2-5x+3=0の整数解を求めよという問題の解き方をおさえたかださい

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ID非公開さん

2018/10/3116:50:02

x^2-xy+2y^2-5x+3=0の整数解を求めよという問題の解き方をおさえたかださい

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aga********さん

2018/10/3118:06:12

既に回答があるけど別解。特殊すぎて汎用性はほぼないけど。

係数を眺めたら(x,y) = (1,1) が解になってることはすぐに分かる。
x = p+1, y = q+1とおいて代入して整理すると
p(p-4) = q(p-2q-3)
p(p-4) と (p-2q-3) の偶奇が異なることに注意する。

p=0 または 4 のときは、p-2q-3 は奇数で、0にはならないから、q=0

pが0でも4でもない場合は、
必然的に(p-2q-3)は0でない。
q = p(p-4)/(p-2q-3)
qは整数なので、右辺の分母分子の偶奇の違いから
p-2q-3 = 1, -1 しかありえない。
これより
p-2q-3 = 1 なら p = 2q + 4 なので、代入して
q = 4q^2 + 8q これの整数解はない。
p-2q-3 = 1 なら p = 2q + 2 なので、代入して
q = (2q + 2)(2q - 2) これも整数解はない。

以上より、(p,q) = (0,0), (4,0)
すなわち、(x,y) = (1,1), (5,1)

  • aga********さん

    2018/10/3118:15:10

    他には
    xについて整理した後に平方完成とか。
    整数問題はやり方は色々ある。色々引き出しを持っとくといいです。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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hir********さん

2018/10/3117:19:57

xの方程式とみると、x^2-(y+5)x+(2y^2+3)=0 ‥‥①
これが実数解を持つから、判別式≧0
従って、(5-√116)/7≦y≦(5+√116)/7
つまり、y=0、1、2、である。

あとは、この3つの値を各々①に代入すれば、xも出る。

cop********さん

2018/10/3117:08:08

xについて整理すると
x^2+(-y-5)x+(2y^2+3)=0

よって解は
x={y+5±√(y^2+10y+25-8y^2-12)}/2
={y+5±√(-7y^2+10y+13)}/2
={y+5±√(-7y^2+10y+13)}/2

これ以上どうしようもないんですけど、式合ってます?

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