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判別式Dはなんで解の公式のルートの中を使うんですか?2つの関係はなんですか?

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ID非公開さん

2018/11/1120:37:45

判別式Dはなんで解の公式のルートの中を使うんですか?2つの関係はなんですか?

また、判別式Dはどう証明するんですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

tgu********さん

2018/11/1121:29:28

必要になるかもしれない前提条件
・y=f(x)
・(判別式D)=(f(x)=0のときの解の個数)=(x軸との交点の数)
・(x軸)=(y=0)

ここから説明
ax²+bx+c=0の時
x=(-b±√b²-4ac)/2a(←解の公式)
となり、(±があるので)通常2個の解が出て来ます。
しかし、±√の中身が
「正の数」であれば問題なく2個の解が出て来ますが、
「0」であった場合±√0はどちら(+0も-0)も0なので、1つしか解が出ません
「負の数」の場合√の中身がマイナスになる訳ですが、現状(実数の範囲で)そんな数は存在しないので、1つも解が出ません(0個の解)

で、「いちいち解の公式を使わなくても±√の中身さえ見れば、解の個数だけなら分かるよね。」っていうのが「判別式D」です。

証明に関しては、解の公式の証明(?)に準じます。
ax²+bx+c=0

x=
の形に直すだけ

ベストアンサー以外の回答

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kou********さん

2018/11/1121:04:18

b^2-4acが負となれば
二乗して負になる数が存在することになります。そんなの現実には存在しませんね?だから実数解を持つか分かるのです。

b^2-4ac=-1
√-1←こんな数は実在しない!

got********さん

2018/11/1121:01:23

y=ax^2+bx+c
の右辺を平方完成すると
y=a(x+(b/2a))^2-((b^2)-4ac)/4a
となるので、
この2次関数のグラフの頂点の座標は
(-b/2a,-((b^2)-4ac)/4a)
になります。
判別式をDとすると、
頂点のy座標は-D/4aです。

a>0のとき、
y=ax^2+bx+cのグラフは下に凸です。
そのため、

D>0ならば頂点のy座標が負となり、
グラフとx軸は異なる2点で交わります。これらの交点のx座標が2次方程式ax^2+bx+c=0の実数解です。
ax^2+bx+c=0は異なる2つの実数解を持ちます。

D=0ならば頂点のy座標が0となり、
グラフとx軸は1点で接します。この接点がグラフとx軸との共有点であり、そのx座標が2次方程式ax^2+bx+c=0の実数解です。
ax^2+bx+c=0は実数の重解を持ちます。

D<0ならば頂点のy座標が正となり、
グラフとx軸は共有点を持ちません。
グラフとx軸が共有点を持てばそのx座標が2次方程式の実数解になりますが、この場合は共有点はないので、2次方程式ax^2+bx+c=0は実数解を持ちません。

eto********さん

2018/11/1120:52:06

一般的な2次方程式から、平方完成など変形をすることで、解の公式が出てきます。
証明は、それをするだけです。

D<0 の場合、解は虚数になります。

jmt********さん

2018/11/1120:48:10

> 判別式Dはどう証明するんですか?

判別式とは命題ではないので、そもそも証明するという行為が存在しない

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idl********さん

2018/11/1120:46:19

解の公式で、√..の中が
・正の数なら、実数解は2つで
・0なら、実数解は1つで
・負の数なら、実数解はない
というように、解の種類は±√(b²-4ac)が
決定しています。
なので、その中身だけ考えればよいから、
b²-4acを利用します。

証明とは?意味わからないです。

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