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杉浦光夫さんの解析入門Ⅰについての質問です。

fwe********さん

2018/11/1823:07:12

杉浦光夫さんの解析入門Ⅰについての質問です。

以下の画像の例10の3行目で"fは連続だから、有界閉集合B(r)上で最小値に達する"が理解出来ません。
直前の定理で"最大値定理"を証明したのでその例だと思います。
どの様に、"最大値定理"を利用しているかが分かりません。
わかる方、教えて頂きたいです。
大学数学 解析学 幾何学 位相 微分 積分 線形代数 級数 統計

杉浦光夫,最大値定理,線形代数,級数,有界閉集合B,有界,q7u

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ベストアンサーに選ばれた回答

q7u********さん

2018/11/1901:57:33

[杉浦]でどのような形の最大値定理が記載されているか、残念ながら今は手元にないためわかりませんが、一般に関数fがコンパクト集合K上で連続ならば、fはK上で最大値および最小値を持ちます。

「K上連続なfがKで最大値を持つ」が定理の内容なのであれば、g=-fもKで連続だからKで最大値をもち、gの最大値はfの最小値の-1倍なので最小値の存在もわかります。

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質問した人からのコメント

2018/11/21 00:35:33

理解しました。
お二方、ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2018/11/1920:57:58

横から失礼します。q7u********さんのとおりです。
ただ、その本のノートを持っていますので実体を説明します。
例10の前に、次の定理があります。

定理7.3 KをRⁿの点列コンパクト集合、f:の→R^mはKで連続であるとする。このとき、次のことが成り立つ。
1) f(K)は点列コンパクトで、fは有界。
2) fが実数値関数(m=1)で K≠∅ならば、fはKで最大値、最小値に達する。

したがって、例10のfが連続なのは明らかなので、B(r)が点列コンパクト
なら、上の2)からB(r)→Kとして、求める命題が言えます。

そのことは、その前の定理7.2から点列コンパクトと有界閉集合は同値と
いう定理があり、B(r)の有界は自明で、|x|≦rから、B(r)<上バー>=B(r)
は自明なので、閉集合となる(その前の定義2)。

という手順です。

そして、その後の定理7.4により、Rⁿの部分集合について、コンパクト、
有界閉集合、点列コンパクトは同値です。ゆえにq7u********さんの
言明につながります。

BAはq7u********さんへ。

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