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a.bをa>b>0を満たす定数とし、

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ID非公開さん

2018/12/522:42:17

a.bをa>b>0を満たす定数とし、

{a1=a、an+1=an²+bn²(n=1,2,3,・・・)、
b1=b、bn+1=2anbn(n=1,2,3,・・・)}で定義される数列{an}、{bn}を考える。次の問いに答えてください。
(1)数列{cn}、{dn}をcn=an+bn、
dn=an−bn(n=1,2,3,・・・)により定義するとき、その一般項cn、dnをa、bを用いて表してください。
(2)数列{an}、{bn}の一般項an、bnをa,bを用いて表してください。
(3)極限値lim[n→∞]bn/anが存在するどうか調べ、存在する場合はその値を求めてください。

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def********さん

2018/12/523:19:31

a>b>0
a[1]=a, b[1]=b
a[n+1]=a[n]^2+b[n]^2 …①
b[n+1]=2a[n]b[n] …②

(1)
c[1]=a[1]+b[1]=a+b >0
①+②から、
a[n+1]+b[n+1]=(a[n]+b[n])^2
∴c[n+1]=c[n]^2 …③

c[n]>0 を示す。
n=1のとき、c[1]>0
n=kのときc[k]>0 と仮定すると、③から、c[k+1]>0 で成立。
よって、c[n]>0

③の両辺の絶対値の対数をとって、
log|c[n+1]|=2log|c[n]|
log|c[n]|=2^(n-1)・log|c[1]|=2^(n-1)・log(a+b)
∴c[n]=(a+b)^{2^(n-1)} ・・・④
(∵c[n]>0)

d[1]=a[1]-b[1]=a-b >0
①-②から、
a[n+1]-b[n+1]=(a[n]-b[n])^2
∴d[n+1]=d[n]^2
c[n]と同様にして、d[n]>0 で、
d[n]=(a-b)^{2^(n-1)} …⑤

(2)
④+⑤から、
2a[n]=(a+b)^{2^(n-1)}+(a-b)^{2^(n-1)}
∴a[n]=(1/2)(a+b)^{2^(n-1)}+(1/2)(a-b)^{2^(n-1)}

④-⓹から、同様にして、
b[n]=(1/2)(a+b)^{2^(n-1)}-(1/2)(a-b)^{2^(n-1)}

(3)
b[n]/a[n]
={(a+b)^{2^(n-1)}-(a-b)^{2^(n-1)}} / {(a+b)^{2^(n-1)}+(a-b)^{2^(n-1)}}
={1-{(a-b)/(a+b)}^{2^(n-1)}} / {1+{(a-b)/(a+b)}^{2^(n-1)}}
→1 (n→∞)
(∵ 0<(a-b)/(a+b)<1 だから、lim[n→∞] {(a-b)/(a+b)}^{2^(n-1)}=0)

よって、極限値 lim[n→∞] b[n]/a[n] は存在し、その値は1

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