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円板の回転の運動方程式について質問です。 半径r、質量mの円板が平面上を回転...

pie********さん

2018/12/719:40:01

円板の回転の運動方程式について質問です。

半径r、質量mの円板が平面上を回転するときの運動方程式は、円板の軸の周りの慣性モーメントをI、円板に与えた力をFとすると
I•d^2θ/dt^2=r•F

となると教科書などに書かれていますが、
どのようにこの式が導かれるか分かりません。

運動方程式は、円板の進む距離をxとすると、
mx”[xツードット ]=F •••①
ですが、
円の回転運動では,
速度は、
v=rω
加速度は、
a=r•ω^2=vω=v^2/r
と表せるので、①の式は、
mr•ω^2=F •••②
となります。
慣性モーメントは、
I=m•r^2
より、②の式は、
I•ω^2/r=F
となると思います。

しかし、なぜ
I•d^2θ/dt^2=r•F
のように表すのでしょうか?
そもそも
ω=dθ/dt
であり、
d^2θ/dt^2、つまり(dθ/dt)^2は、一体何を表しているのでしょうか?

よく理解できていないかもしれませんが、
I•d^2θ/dt^2 という慣性モーメントにθの二階時間微分をかけたものの意味と、
r•Fという、半径•力の意味について
ご教示お願いします。

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2018/12/721:23:18

剛体の重心を回転中心とすると、剛体は変形しないので剛体内のすべての質点は重心まわりに同じ角速度で円運動をすることになる。
i番目の質点と重心の距離をri、回転の角速度をwとすると、円運動では動径と運動方向が直交するので

重心まわりの角運動量 ri pi = ri (mi vi) = ri mi (ri w) = mi ri^2 w

回転の運動方程式は、円運動では動径の長さが変わらないので

d(mi ri^2 w)/dt = mi ri^2 dw/dt = Ni

剛体内の全ての質点について和を取り、I = Σmi ri^2と定義すれば

Σ (mi ri^2 dw/dt) = (Σmi ri^2) dw/dt = I dw/dt = ΣNi

  • 2018/12/721:35:21

    トルクの方はどうしても外積にする必要があるのでベクトルを使い、i番目の質点について

    位置ベクトル ri
    外力 Fi
    j番目の質点からの力 fij

    とすると

    Ni = ri ×(Fi + fi1 + fi2 +・・・・) = ri×(Fi + Σj fij)
    = ri×Fi + Σj (ri×fij)

    fijは作用反作用の関係からfji = - fijが成り立つ。

    全ての質点に付いて和を取れば

    ΣNi = Σri×Fi + Σij ri×fij

    2項目の Σij ri×fijの和には、12と21のようなペアが含まれていて作用反作用の法則から

    r1×f12 + r2×f21 = - r1×f21 + r2×f21 = (r2-r1)×f21

    などと書き換えることができる。ここでf21が中心力で

    f21 ~ (r2-r1)

    と書けるとすると

    (r2-r1)×f21 ~ (r2-r1)×(r2-r1) = 0

    となる。12以外の組み合わせについてもすべて0になるので、第2項の和は結局0となり

    ΣNi = Σi ri×Fi

    で外力によるトルクの総和だけになり、内力fijは回転の方程式に影響しない。

    以上から回転の方程式は

    I dw/dt = Σ(ri×Fi)

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質問した人からのコメント

2018/12/8 20:01:25

色々詳しく解説して頂いたので、ベストアンサーに選ばせて頂きました。
ありがとうございました!

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chi********さん

2018/12/721:00:54

md²x/dt² = F
x = rθなので
mrd²θ/dt² = F
mr²d²θ/dt² = Fr
I = mr² とすると
Id²θ/dt² = Fr

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2018/12/720:07:47

回転の運動方程式とは、
角運動量L=r×p (rは位置ベクトル, p=m(dr/dt)は運動量)
の時間微分
dL/dt=(dr/dt)×p+r×(dp/dt)=r×F (Fは力ベクトル)
N=r×Fは、力のモーメント。
つまり、
dL/dt=N
が回転の運動方程式となります。
この式は直交座標系(x, y, z)での式なので、
回転軸を原点とする円柱座標
x=Rcosθ, y=Rsinθ, zはそのままにしておくと、
'=d/dtと表すと、
まず、直交座標系(x, y, z)での角運動量は、
r×p=m(yz'-y'z, x'z-xz', xy'-x'y)
となります。物体が運動する平面をz=0とすると、
r×p=m(0, 0, xy'-x'y)
となります。
その平面上で、r×pをx=rcosθ, y=rsinθで、極座標表示すると、
r×p=m(0, 0, R^{2}θ')
となります。
ここで、I=mR^{2}と置くと、この物理量を慣性モーメントと言います。
すると、
r×p=m(0, 0, R^{2}θ')=(0, 0, Iθ')
となります。
つまり、ω=(0, 0, θ')と置くと、z軸、つまり、回転軸方向が角速度ベクトルの
向きとなります。
すると、
L=r×p=Iω
となります。
つまり、
角運動量=慣性モーメント(スカラー量)と角速度ベクトル(ベクトル量)の掛け算
となります。
L=Iωを時刻tで微分すると、
Idω/dt=N
となり、回転軸に関する回転の運動方程式となります。
dL/dt=Nは直交座標系
Idω/dt=Nは回転軸に関する円柱座標系
ということです。
てこの釣り合いのような力のモーメントの釣り合いという概念は、
実は、回転が止まっている=角運動量が時間によらず一定
というところから来ているのです。

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