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下の画像はeˣ, sinx, cosxをマクローリン展開したものなのですが、sinxとcosxの式...

son********さん

2018/12/821:26:24

下の画像はeˣ, sinx, cosxをマクローリン展開したものなのですが、sinxとcosxの式がよくわかりません...
分母の階乗がk!から(2k+1)!や(2k)!になっているので

k→2k+1
k→2k
としたのはわかるのですが、左側の(-1)ᵏがよくわかりません...

画像元:https://atarimae.biz/archives/10258

sinx,cosx,マクローリン,階乗,分母,MX,ix

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ベストアンサーに選ばれた回答

ne_********さん

2018/12/821:47:55

sin x = 1/(2i)(e^(ix) - e^(-ix))
なのでexpの展開式でxの所にixを入れると
sin x = 1/(2i)(Σ(ix)^k/(k!) - Σ(-ix)^k/(k!))
和の内kが偶数なら消えるので mをゼロからの和として
sin x
= 1/(2i)(Σ(ix)^(2m+1)/((2m+1)!) - Σ(-ix)^(2m+1)/((2m+1)!))
= 1/2(Σ(-1)^m x^(2m+1)/((2m)!)*2)
= Σ(-1)^m x^(2m+1)/((2m)!),

cos xも同様に
cos x = 1/2(e^(ix) + e^(-ix))
= 1/2(Σ(ix)^(2m)/((2m)!) + Σ(-ix)^(2m)/((2m)!))
= Σ(-1)^m x^(2m)/((2m)!)

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質問した人からのコメント

2018/12/9 03:58:18

(-1)ᵏの出現理由含め問題の解き方がよくわかりました。
回答ありがとうございました。

指数関数と三角関数の関係の式はまたいつか覚えるとします。。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

wat********さん

2018/12/821:51:16

普通に1,3,5,…が2k+1で,1,-1,1,-1,…が(-1)^k。cosも同様(最初はx^0/0!から始まっていると考える)。

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