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整数 かなり難問です。

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ID非公開さん

2018/12/2622:15:45

整数 かなり難問です。

1/x+1/y=(2/3)^n を満たす自然数の組(x,y,n)を求めよ。

お願いします。

補足3^n+1が8の倍数とならないことは用いて良い。

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dri********さん

2018/12/2719:41:59

x≦y, Y=1/yとします。

考え方としては、

Y=(2ⁿx-3ⁿ)/(3ⁿx)
=x(2ⁿ-3ⁿ/x)/(3ⁿx)
= (2ⁿ-3ⁿ/x)/3ⁿ

となります。

[A] n≧2で、かつ、xが3の倍数ではない場合

(1) 2ⁿx-3ⁿが3の累乗になるかどうか
n≧2ではなりません。

(2) 2ⁿx-3ⁿがxの倍数となるかどうか
正確には、x, 3x, 9x...になるかどうか
まず、xになるかどうかですが、
2ⁿx-3ⁿ=x
2ⁿx-x=3ⁿ
x=3ⁿ / (2ⁿ - 1)

nが偶数の場合、(2ⁿ - 1)は3の倍数になるが、9や27でも割り切れるとは限らない。
よって、xが整数になるのはn=2の時だけとなり、x=3ですので、前提条件と異なります。

(Aまとめ)
n=1および、xが3の倍数でない場合の(x,y,n)は、

(2,6,1) (3,3,1) (3,9,2)

[B] n≧2で、かつ、xが3の累乗の場合

2ⁿ-3ⁿ/x
=2ⁿ-3ⁿ⁻ⁱ

iは1以上の整数です。
この式は3の倍数にはならないので、1にならないとなりません。
2ⁿ-3ⁿ⁻ⁱ=1
2ⁿ-1=3ⁿ⁻ⁱ
この式が成り立つnとiの組み合わせはないと思われます。

[C] n≧2で、かつ、xが3の倍数の場合
x=3ⁱk
iは1以上の整数、kは3の倍数以外の整数とします。

(2ⁿx-3ⁿ)/(3ⁿx)
=(2ⁿ3ⁱk-3ⁿ)/(3ⁿ3ⁱk)
=(2ⁿk-3ⁿ⁻ⁱ)/(3ⁿk)

2ⁿk-3ⁿ⁻ⁱは3の倍数でもkの倍数でもないので、1にならないとなりません。
2ⁿk-3ⁿ⁻ⁱ=1
2ⁿk-1=3ⁿ⁻ⁱ

これが成り立つn, i, kの組み合わせもないと思われます。

以上より、(x,y,n)の組み合わせは、

(2,6,1) (3,3,1) (3,9,2)

の3つです。

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ベストアンサー以外の回答

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lag********さん

2018/12/2623:09:29

1/x+1/y=(2/3)^n、x≦yとする。
3^n(x+y)=(2^n)xy
6^n(x+y)=(2^n)^2xy
(2^nx-3^n)(2^ny-3^n)=3^2n
3^2nの約数は2n+1個,約数は3^k(0≦k≦2n+1)
(2^nx-3^n)≦(2^ny-3^n)より
(2^nx-3^n,2^ny-3^n)=(1,3^2n),(3,3^2n-1),(3^2,3^2n-2),(3^3,3^2n-3),...(3^n,3^n)

(2^nx,2^ny)=(1+3^n,3^2n+3^n),(3+3^n,3^2n-1+3^n),(3^2+3^n,3^2n-2+3^n),(3^3+3^n,3^2n-3+3^n),...(2×3^n,2×3^n)

まとめて
(2^nx,2^ny)
=(3^k+3^n,3^(2n-k)+3^n)
(ただし0≦k≦n)

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