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a.bを実数とする。方程式x²+ax+b=0が実数解をもち、すべての解の絶対値が1以下...

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ID非公開さん

2018/12/2718:30:28

a.bを実数とする。方程式x²+ax+b=0が実数解をもち、すべての解の絶対値が1以下であるとします。

(1)この条件を満たす点(a.b)全体をab平面上に図示してください。
(2)a+2bの最大値と最小値を求めて下さい。

途中式と解答をお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

bib********さん

2018/12/2719:21:41

(1)
f(x)=x²+ax+b=(x+(a/2))^{2}-(a^{2}/4)+b
とおく。
方程式x²+ax+b=0が実数解をもち、
すべての解の絶対値が1以下なので、
y=f(x)とx軸との交点が-1以上1以下であれば良い。
したがって、
f(-1)=1-a+b>=0
f(1)=1+a+b>=0
-1<=-a/2<=1
-(a^{2}/4)+b<=0
を全て満たせば良い。
整理すると、求める領域は、
D={(a, b)|b<=a^{2}/4, b>=a-1, b<=-a-1, -2<=a<=2}
である。
2直線b=a-1, b=-a-1は、放物線b=a^{2}/4にa=-2, 2で接することに注意。

(2)
a+2b=kと置くと、
b=-(1/2)a+(1/2)k
領域D上で、
a+2bが最大値、最小値をとるとき、
直線b=-(1/2)a+(1/2)kが、
(-2, 1), (2, 1), (0, -1)を通る時である。
したがって、
-2<=a+2b<=4
となる。
最大値4, 最小値-2

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2018/12/2719:11:46

基本的な問題なんだが。
f(x)=x²+ax+b=0、とする。


判別式=a^2-4b≧0、f(1)=1+a+b≧0、f(-1)=1-a+b≧0
軸に関して:|-a/2|≦1

これら4つの条件の共通範囲が求めるもの。


(Ⅰ)で求めた領域に対して、
直線:a+2b=kの値域を求める線形計画の問題になる。
傾き=-1/2<0を固定して、直線を上下すれば、答えはすぐわかる。

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