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P(x)をx−1で割ると−1あまり、x+1でわると3あまる。P(x)を(x−1)^2で割ったっきのあ...

hgd********さん

2019/1/2618:06:44

P(x)をx−1で割ると−1あまり、x+1でわると3あまる。P(x)を(x−1)^2で割ったっきのあまりが定数であるとき、P(x)を(x−1)^2(x+1)で割ったときのあまりを求めてください。

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yos********さん

2019/1/2618:23:27

P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りは定数だから
商をQ(x)とすると、cを定数として
P(x)=(x-1)^2Q(x)+c…①
P(x)をx-1で割ると-1余るから、剰余の定理と①より
P(1)=c=-1
P(x)を(x-1)^2(x+1)で割った余りは高々2次の整式だから
商をR(x)とすると、p,q,rを実数として
P(x)=(x-1)^2(x+1)R(x)+px^2+qx+r…② とおける
②において
(x-1)^2(x+1)R(x)は(x-1)^2で割り切れるから
px^2+qx+rを(x-1)^2で割った時の余りは
P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りに等しい
つまり
P(x)=(x-1)^2(x+1)R(x)+p(x-1)^2-1…③とおける
P(x)をx+1で割ると3余ることから
P(-1)=3
③より
P(-1)=4p-1=3
p=1
よって
P(x)を(x-1)^2(x+1)で割った余りは
③より
(x-1)^2-1
=x^2-2x…(答)

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tik********さん

2019/1/2620:20:37

もとめてみては???

lag********さん

2019/1/2618:52:37

P(1)=-1,P(-1)=3
P(x)=(x-1)^2S(x)+aよりa=-1∴P(1)=-1
P(x)=(x-1)^2S(x)-1
=(x-1)^2((x+1)T(x)+b)-1
=(x-1)^2(x+1)T(x)+b(x-1)^2-1より
P(-1)=4b-1=3だからb=1
∴余り=(x-1)^2-1

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