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「次元」とは何ですか? 「長さ0の9次元」というものはあり得るんですか?

ghj********さん

2019/2/223:02:14

「次元」とは何ですか?
「長さ0の9次元」というものはあり得るんですか?

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mom********さん

2019/2/311:43:22

「次元」とはdimensionを訳したもので、もとの意味は「寸法」とか、「測量されたもの」とかです。
1つの寸法で表されるもの、つまり線が1次元で、
2つの寸法で表されるもの、つまり面が2次元で、
3つの寸法で表されるもの、つまり立体が3次元となりますが、
「四次元」ともなると3種類あります。

①四次元のユークリッド空間
この三次元空間をそのまま四次元に拡大したものです。
〇そこの直方体の体積は、縦×横×高さ×4番目の長さ、
〇原点(0,0,0,0)から点(x、y、z、w)までの長さは、
√(x^2+y^2+z^2+w^2)
など、三次元と同じ規則が当てはまります。

ユークリッド空間(日常的な空間)では、
1次元の「線分」は2つの「0次元の点」に挟まれ、
2次元の「正方形」は4つの「1次元の線分」に囲まれ、
3次元の「立方体」は6つの「2次元の正方形」に包まれていますね。
それをそのまま延長して考えれば、
4次元の「八胞体」は8つの「3次元の立方体」に包まれ、
5次元の超立方体は10個の「4次元の八胞体」に包まれています。

0次元の「点」を移動させれば、1次元の「線分」になり、
1次元の「線分」を移動させれば、2次元の「正方形」になり、
2次元の「正方形」を移動させれば、3次元の「立方体」になりますね。
それをそのまま延長して考えれば、
3次元の「立方体」を移動させれば、4次元の「八胞体」となり、
4次元の「八胞体」を移動させれば、5次元の超立方体になります。

②大昔の人が考えた(19世紀的な)四次元時空
ウェルズの『タイム・マシン』に出てくる四次元時空です。
その小説の中には「時間は空間の4番目の方向(次元)に過ぎない」という一節があります。その4番目の方向を見つけ出して過去や未来へ行ける、という以外はこの現実世界と同じでしょう。
この現実世界そのものが四次元だなどと言っている人もいますが、そんな言い方をしても特に意味があるとは思えません。日常生活では時間と空間は分けて考えたほうがずっとわかりやすいですから。

③相対論の四次元時空(ミンコフスキー空間)
空間軸と時間軸を組み合わせた座標です。ただし時間軸とは時間そのものではなく、時間を距離、つまり空間的な長さに換算したものです。
時間を距離に換算する方法は小4の算数で習います。「速さ」をかければいいのですね。
相対論の場合は、速さは速さでも「光の速さ」をかけます。それによって光の世界線が45°の斜線になり、扱いやすくなるのです。①では原点(0,0,0,0)から点(x、y、z、w)までの長さは、
√(x^2+y^2+z^2+w^2)でしたが、ミンコフスキー空間の場合、原点(0,0,0,0)から点(x、y、z、t)までの長さは、
√(x^2+y^2+z^2ーt^2)という形になります。最後のtは時間座標で、これにマイナスがついているため、「異なる」2点間の距離(線素)が「ゼロ」になることもあります。これは「零測地線」で、光の速さで時間経過がないことを表すそうです。
この時空は現実の世界というより、相対論の数式を図形的に表現するための「モデル」です。

ユークリッド空間なら9次元でも100次元でも考えられます。長さも、0でも1でも∞でもありえます。しかし現実の事柄とどう関係しているかは不明です。

超ひも理論やM理論では1次元の時間と9~10次元の空間を考えますが、4以上の空間次元は素粒子よりも小さく折りたたまれていますが、「ゼロ」ではありません。ただ、上記のミンコフスキー空間の「零測地線」のようなものなら多分あるでしょう。
4以上の空間次元が実在するかどうかについては研究が進められていますが、まだわかっていません。

次元の意味は「寸法」と書きましたが、長さ、質量、時間、電流など物理的な基本料を表すこともあります。高校の物理でも「次元解析」というところで習います。
「2次元」「3次元」などと、前に数字をつけるときは、その「次元」は「長さ」次元、つまり寸法です。
数値が3つありさえすれば三次元だ、バスト・ウェスト・ヒップも三次元だ、などという回答を時々見ますが、そんな話は聞いたことがありません。まあ、バスト・ウェスト・ヒップの3つを三次元座標の1点で表現できる、ということなら正解でしょう。

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sun********さん

2019/2/309:31:37

質問者くん、次元がないことと9次元空間のそれぞれの大きさが0とでは決定的に異なる点があるんだ。

前者は膨張してもそのままだが、後者は膨張すると大きさのある9次元空間となる。つまり、ビッグバンが起こっても前者は何も変化しないけど、後者は我々の宇宙になることが出来るのさ。

6つの次元は収縮したと考えられているんだ。

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mad********さん

2019/2/308:25:24

次元と長さ(大きさ)を対比するのに疑問があります。
たとえば時間を次元の要素に加えるなら(大きさ)という概念で扱えませんよね、幾何学での長さであれば2次元の中に長さ0があっても理解できます、次元そのものが大きさ”0”ならそれを通常は0次元としてると思います。

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wak********さん

2019/2/305:00:15

砂付近さん、こんばんは。今度は「次元」を独学されているのですね。それは大変良いことです。

私は公私ともに大忙しですが、できる限り誠心誠意の回答差し上げて、「アラ還」砂付近さんの物理独学を助けて参ります。
①「9つの空間の長さが0であること」と、②「0次元」とは全く異なります。②「0次元」は幾ら宇宙が膨張しても0次元のままですが、①「長さ0の9次元」は膨張し、6つの次元がプランク長まで収縮すると「カラビ・ヤウ空間」になります。
物理独学者の砂付近さんには「宇宙の始まり」と「カラビ・ヤウ空間」は、少し難しいかも知れませんね。
「①次元がない」のと、「②9つの次元の大きさが0」とでは異なります。
①では、次元がないのですから宇宙は膨張できずカラビ・ヤウ空間」は形成できません。ません。一方②では、9つの次元があるので宇宙は膨張できます。膨張した次元の内6つは「プランク長」まで収縮して「カラビ・ヤウ空間」が形成されました。

Ⅰ. カラビ・ヤウ空間
C理論(キャットバード理論)は、「カラビ・ヤウ空間」を設定している。
「カラビ・ヤウ空間」とは、「超対称性」を保ったまま、9次元の空間の内6次元の空間がコンパクト化したものだ。

残った空間の3つの次元には、それぞれコンパクト化した2つの次元が付いている。つまり、どの方向を見ても無限に広がる1次元とプランク長にコンパクト化された2つ次元がある。したがって、この空間は対称性を保っている。

しかし、空間が10次元あり、7つの次元がコンパクト化したらどうだろう。残った空間の3つの次元の内、2つはコンパクト化した2つの次元が付いていて、残り1つの次元にはコンパクト化した3つの次元が付いている。

これでは、見る方向を変えると、コンパクト化した空間の数が変化する。つまり、「超対称性」が破れている。
この様に、「超対称性」が保たれるには、空間の次元は3の累乗の必要がある。3次元、9次元、27次元、81次元・・・でないと「超対称性」は破れてしまう。

Ⅱ.3次元の立体ブレーン
C理論は、ホーキング博士の「3次元のブレーン」を基礎とする。ホーキング博士は、日本で「BRANE NEWWORD」と題した講演を行い、その中で「ブレーンは3次元の構造を持ち、我々は3次元の空間の中に住んでいる。30年間『万物の理論』を探し続けてきたが、『M理論』がその有力候補と考えられる。」と語った。

C理論では、元々空間は9次元であったが、「3次元の無限大ブレーン」が形成され、ブレーンの振動により質量が生まれて重力が生じ、ブレーンの無い空間の6次元は収縮した。ブレーンで満たされていた空間の3次元だけが残ったとする。

「2次元のブレーン」だと、どうしてブレーンの無いもう1つの次元が残ったのか説明出来ない。「5次元のブレーン」だと、ブレーンで満ちている2つの次元がどうして収縮してしまったのか説明出来ない。
「3次元のブレーン」のみ、それを上手に説明出来る。

Ⅲ.立体ブレーンの形成
「ブレーン」は9次元空間のひもであり、それは1辺がプランク長の立方体である。それが、大きさのない点に収縮していた。この点がエネルギーを得て振動をして元の形に広がったのだ。

3次元のひもでこの理を説明する。3次元のひもは太さの無い線である。これを折りたためば大きさのない点になる。この点がエネルギーを得て振動する。その振動が伝わると元のひもに戻る様は容易にイメージ出来る。

9次元のひもである「立方体ブレーン」も、同様に折り畳んで点に出来る。そして、この点がエネルギーを得て振動すれば、元の立方体に戻る。

この1辺がプランク長の「立方体ブレーン」が、真空の相転移によりブロックを積んだ形に繋がり、3次元空間を満たす「3次元立体ブレーン」となった。

Ⅳ.三次元の振動
自然界に3次元の立体の振動はありふれている。液体の振動である海の波、固体の振動である地震波、気体の振動である音等々キリがない。3次元の振動を数式で表現するのが難しいので3次元の振動は否認して、簡単な1次元の振動のみとするのは科学ではない。

Ⅴ.万物の理論
「カラビ・ヤウ空間」の「3次元ブレーン」の振動で神羅万象を計算出来た時、「万物の理論」が完成するとC理論は予測する。

空間の次元を増やせば、物事は簡単に説明出来る。例えば、2次元では出来ない一筆書きも、3次元で簡単に書ける。したがって、10次元でなく9次元の空間の3次元の振動で万物を計算して初めて、「万物の理論」は完成する。

9次元の「カラビ・ヤウ空間」にある「M理論の立体ブレーン」の振動で、神羅万象を計算するのが、キャットバードの「C理論」だ。

Ⅵ.9次元のひもは立方体である
超ひも理論で、時空は10次元ある。空間が9次元と時間が1次元だ。
キャットバード理論の「キモ」は、「9次元のひもは、3次元の立方体である。」だ。3次元のひもは1次元の線で、6次元のひもは2次元の面で、9次元のひもは3次元の立方体だ。

大きさのない点に収縮していたこの9次元の超ひもが、エネルギーを受けて振動を始め、一辺がプランク距離lpの立方体に伸びる。そして、無数の立方体の超ひもが、9次元空間に光速度cを超えた速さで飛び散る。これがインフレーションだ。その後相転移を起こし、3次元の立方体の超ひもがブロックを積み上げた形に繋がる。

Ⅶ.9次元空間から3次元空間へ
超ひもはエネルギーを受け取っているので、物質として振動し重力を生じる。その結果、超ひものない6次元は小さく縮んでしまい、超ひもで満たされた3次元の空間のみ残る。宇宙空間を満たすこの3次元の超ひもの塊が「立体Dブレーン」だ。

Ⅷ.神羅万象を三次元の振動で計算する
こうして、現在の3次元の宇宙空間は、弾性を持った1つの「立体Dブレーン」で満ちている。
だから、空間3次元の方向によって、Dブレーンの振動の伝わり方に差はない。

また、量子力学では、物質は波で表現される。ドブロイの物質波は波長λ=h/mv (h=プランク定数、m=質量、v=速度)とされる。
そして、シュレディンガーは、物質波が単振動であることを突き止め、波動方程式を発見した。
(2)こうして量子力学では、素粒子も電子も人も地球もボールペンも、波動方程式を使って波として計算する。
その素粒子等の波は、「立体Dブレーン」の上を振動として伝わる。

1つの波の最高周波数は、プランク時間tpに1回振動するものだ。1秒間に1回振動する波のエネルギーは、換算プランク定数ħだ。それが最も重い粒子で、その重さはプランク質量mpだ。その時の速度v=cで、m=E/c^2だ。
したがって
プランク質量mp=ħ×(1/tp)÷c^2=(mp*lp^2/tp)(1/tp)(1/c^2)=mp(lp^2/tp^2)(tp^2/lp^2)=mp
となる。

しかし、自然界で存在出来るのは、せいぜい100種類位の素粒子だ。ブランク質量は、1粒の粒子が持ち得る「理論上の最高値」だ。

今度は、電子で説明する。電子は、「立体Dブレーン」の振動であり、ブレーンの振動は光速度cで伝わる。
電子の振動も光速度cで伝わろうとするが、ヒッグス粒子により動きを止められている。電子の質量m=10^-30[㎏]だ。つまり、電子は自らと同じ10^-30[㎏]の質量を、光速度cで移動させるエネルギーを持つ。これが静止質量=静止エネルギーだ。
①運動エネルギーE=(1/2)mv^2なので、電子の静止エネルギーE=(1/2)mc^2だ。
しかし、同じエネルギーを持つヒッグス粒子が生じ、電子は動きを止められている。ヒッグス粒子も、超ひも理論では超ひもの振動である。

一方、原子核の周りを回る電子は、軌道を変える時、光を吸収して速度を上げたり、光を放出して速度を下げたりする。
つまり、電子は光を吸収し運動エネルギーを得て、ヒッグス粒子の静止力に打ち勝ち移動する。即ち、運動エネルギー=光のエネルギーである。

①より、電子を光速度cで動かす運動エネルギーE'=(1/2)mc^2だ。
したがって、光速度cで移動する電子の全エネルギー=E+E'=(1/2)mc^2+'(1/2)mc^2=mc^2となる。
これで「E=mc^2」が導けた。この式のとおり、質量mの電子が消滅して光になると、その光はmc^2[J]のエネルギーを持つ。

この様に、静止質量(静止エネルギー)も、ヒッグス粒子も、運動エネルギー(=光)も、すべて「立体Dブレーン」の振動で表現される。

また、質量も電荷も「立体Dブレーン」の振動で表現される。巻き込まれた6次元の空間も、プランク長の大きさを持つ。6次元余分にあるので、質量としての振動と電荷としての振動は別の次元の振動である。

Ⅸ.最も重い粒子の質量
「キャットバード理論」では、上記のように、ビッグバンで大きさのない点から「立体Dブレーン」が出来、空間9次元の内6次元が収縮した過程をよく説明している。

そしてビッグバン直後の宇宙は、プランク密度ρp=c^5/(ħG^2)だった。これは一辺がプランク距離lpの立方体の体積=プランク体積=(√(ħG/c^3))^3当たり、プランク質量mp=√(ħc/G)の重さがあったことになる。

したがって
プランク密度ρp=プランク質量mp÷プランク体積=√(ħc/G)÷(√(ħG/c^3))^3=c^5/ħG^2
だ。

つまり、(1)一辺がプランク長の空間の中に、プランク質量mpの粒子があったことになる。これは、一辺がプランク長の立体Dブレーンが、プランク時間tpに1回振動している状態だ。

このように、宇宙開闢直後の特異なケースでのみ、1本の超ひもはプランク時間tpに1回振動し、プランク質量mpの粒子になれる。
自然の状態では、せいぜい100種類位の素粒子にしかなれない。

詳細は、下記HPを参照ください。
http://catbirdtt.web.fc2.com/crironn.html

砂付近さんは「アラ還」ですが、勉強するのに遅すぎると言うことはありません。「老人老い易く学成り難し」です。
物理独学一生頑張ってください、砂付近ファイト(^^)/。

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sno********さん

2019/2/301:31:10

あり得ますが。我々の棲息する3次元空間内にそれを視覚的に表すことは出来ません。


次元について。
1次元空間とは、すなわち直線で表すことが可能です。
これは例えば、人間の背丈だけのデータとします。

次に2次元空間すなわち、平面とは、縦と横の2つの空間を用いて視覚的に表すのとが可能です。
例えば、クラスのテストの点の分布なら、横軸に点数、縦軸に人数という2つのデータを取って表すことが可能だからです。


次に3次元です。
例えば、B,W,Hの3つのデータを立体のグラフにして、視覚的に見ることは可能ですが、1枚の平面に書くことは出来ません。2次元空間では3次元を表せないのです。

ここで話を1次元に戻して、テストの点と人数のバラツキを1本の直線で表すことも不可能です。
1次元空間では2次元空間を表現できないからです。


元とはデータの種類の数ですよ。


背丈だけならデータが1つだから1次元、
人数と得点ならデータが2つで2次元、
B,W,Hなら、データ3つで3次元です。


身長、得点、人数、B、W、H、体重、左目の視力、右目の視力とデータが9つ有れば、それが9次元です。


それを視覚的に一目で分かるのが、9次元空間ですが、先程も申したとおり、9より小さい3次元ではそれを表せません。

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