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abcd=360を満たす整数a,b,c,dの組は何通りありますか。

nf1********さん

2019/2/1522:41:01

abcd=360を満たす整数a,b,c,dの組は何通りありますか。

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bqb********さん

2019/2/1620:16:30

360 = 2^3・3^2・5
a, b, c, d の素因数を重複組み合わせで考えて、
素因数 2 の入り方は、6C3 = 20 通り
素因数 3 の入り方は、5C3 = 10 通り
素因数 5 の入り方は、4C3 = 4 通り
正負は、最初の 3 つは任意で、最後は自動的に決まるので、
2^3 = 8 通り
よって、20・10・4・8 = 6400 通り

  • 質問者

    nf1********さん

    2019/2/1620:33:08

    ありがとうございます。
    私が考えたのは素因数2,3,5については同じでした。
    符号については4C0+4C2+4C4でした。
    明らかに2^3の方がいいですね。

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質問した人からのコメント

2019/2/20 19:13:47

ありがとうございました。

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idd********さん

2019/2/1617:00:23

整数a,b,c,dとそれぞれに名前があるので、全て区別して考えてみます。
区別するというのは例えば360,1,1,1と1,1,1,360を別の組と数えるという事です。(最初の例はa=360ですが後の例はd=360なので異なると数えました。)

また数える時には、素因数をa,b,c,dに割り振って最終的に4つのa,b,c,dを決める決め方を数えることにしました。

単純な例でいうとAB=10(=2・5)となるA、Bの決め方として、まず2をAまたはBのどちらかの約数にする(2通り)、つぎに5も同じようにどちらかの約数にする(2通り)。
最終的にA、Bの決め方は2×2=4通り{(1,10),(2,5),(5,2),(10,1)の4通りですね}と計算できる。
といった具合です。

ただこの問題では2と3は約数として2個以上含まれているのでその部分をしっかりと場合分けしなければいけません。
(何か見落としていなければ良いのですが・・・)

解答例)
360=2^3・3^2・5
なので4整数abcdの積が360になる時は、a,b,c,dそれぞれを素因数分解したときに2、3、5という約数がそれぞれ何個含まれるかに注目すればよい。

まず5という約数がa,b,c,dのいずれかに一つだけ含まれるので、その決め方は4通りある。

3という約数はa,b,c,dのいずれかに合計2個含まれる。この時2個とも同じ数に含まれる(a,b,c,dいずれか一つだけが2^2を約数に持つ)のは4通り、異なる2つの数に含まれるのは4C2=6通りある。
つまり3という約数の含まれ方は4+6=10通り

2という約数はa,b,c,dのいずれかに合計3個含まれる。
この時3個とも同じ数に含まれるのは4通り、異なる2つの数に約数2が2個、1個と含まれるのは4P2=12通り、異なる3つの数に含まれるのは4C3=4通りある。
つまり合計4+12+4=20通り

2,3,5についてそれぞれの場合の数があるので以上より
4・10・20 = 800通り

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