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N≧1とする. σ_{k}:[0,∞)×R^N → R^N, k=0,1,..,dは可測で以下の局所リプシッツ連続...

spe********さん

2019/2/2020:54:51

N≧1とする. σ_{k}:[0,∞)×R^N → R^N, k=0,1,..,dは可測で以下の局所リプシッツ連続条件をみたすと仮定する.

(局所リプシッツ連続条件)
任意のR>0に対して,K_{R}∈(0,∞)が存在して
|σ_{k}(t,x)-σ_{k}(t,y)|≦K_{R}|x-y|, t∈[0,R], x,y∈B_{R}:={x∈R^N; |x|≦R}, k=0,1,...,dが成り立つ
さらに任意のT>0に対してC_{T}∈(0,∞)が存在して
sup_{t∈[0,T]}|σ_{k}(t,0)|≦C_{T}, k=0,1,..,dが成立するものと仮定する.

φ:R→Rをφ(s)=((1-s)∧1)∨0, s∈Rで定める.
σ_{n,k}:[0,∞)×R^N → R^N, n≧1, k=0,1,...,dを
σ_{n,k}(t,x)=1_{[0,n+1]}(t)φ(|x|-n)σ_{k}(t,x)
で定めると


① |σ_{n,k}(t,x)|≦C_{n+1} + K_{n+1}(n+1),
②|σ_{n,k}(t,x)-σ_{n,k}(t,y)|≦2(n+1)(C_{n+1}+K_{n+1})|x-y|,
x,y∈R^N, t∈[0,∞)
が成立。

とあるのですが、
いくら仮定をうまくいじっても、
①②が成立することが示せません...
この部分について教えていただけると助かります..。

この質問は、ts3********さんに回答をリクエストしました。

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fra********さん

2019/2/2510:28:10

φ(s)=((1-s)∧1)∨0 は大域的にリプシッツ連続(リプシッツ定数=1)であることに注意すれば、もっと簡略に評価できますね。φ(s) が大域的にリプシッツ連続であることは、画像の本文に書いてあります。

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質問した人からのコメント

2019/2/26 22:01:37

ありがとうございました。

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