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J[y(x)]=∫[x0→x1]√(1+y'^2)dx、y(x0)=y0、y(x1)=y1のとき、極値はどうなります...

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ID非公開さん

2019/3/1723:21:02

J[y(x)]=∫[x0→x1]√(1+y'^2)dx、y(x0)=y0、y(x1)=y1のとき、極値はどうなりますか?

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yok********さん

2019/3/1809:02:31

f(y,y') = √(1+y'^2)
∂f/∂y' = y'/√(1+y'^2)
∂f/∂y = 0

オイラーの方程式
d/dx{y'/√(1+y'^2)} = 0

y'/√(1+y'^2) = const.

y' = a = const.

y = ax + b(直線)

極値は直線の長さ=距離になる。
Jmin = √{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/3/1810:57:28

    回答ありがとうございます。y'/√(1+y'^2) = const.

    y' = a = const.
    の部分がまだちょっと分かりません

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質問した人からのコメント

2019/3/18 11:31:34

理解出来ました!皆さんありがとうございました!

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ch1********さん

2019/3/1809:14:29

√(1 + y'^2)dx = √(dx^2 + dy^2) = 線素の長さ
です.よって,Jは(xo, yo)と(x1, y1)を結ぶ曲線 y = y(x) の長さを表します.明らかにその極値は最小値しかなく,それは2点を結ぶ直線の長さ {√(x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2} です.
ーーーーー
参考

δJ = ∫(1/2){1/√(1 + y'^2)}2y'δ(y')dx
δ(y') でdとδの順を入れ替えて
= ∫{y'/√(1 + y'^2)}(dδy/dx)dx
部分積分して
= {y'/(1 + y'^2)}δy - ∫δy (d/dx){y'/√(1 + y'^2)} dx
第一項でδyは端点で0なので
= - ∫δy (d/dx){y'/√(1 + y'^2)} dx.
極値ではこれが0になることから
(d/dx){y'/√(1 + y'^2)} = 0,
{y'/√(1 + y'^2)} = const.,
y' = const.
よって y = y(x) は直線で,当然,与えられた端点を通るものです.

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