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中学の数学教えてください。 1.円周上の8個の点を3個結んでできる三角形は何通...

sh0********さん

2019/4/502:33:15

中学の数学教えてください。

1.円周上の8個の点を3個結んでできる三角形は何通りあるか求めよ。
2.男子4人、女子3人が一列に並ぶとき、女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

途中式もお願いします。

宜しくお願い致します!

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moh********さん

2019/4/511:14:17

1. 8C3=8×7×6/(3×2×1)=8×7=56通り。

円周上の8つの点A~Hがあるとして、ABを結べば、C~Hの6通り。
ACを結べば、△ABC以外の、D~Hの5通り。
ADを結べば、△ABD,△ACD以外の、E~Hの4通り。
AEを結べば、△ABE,△ACE,△ADE以外の、F~Hの3通り。
AFを結べば、△ABF,△ACF,△ADF,△AEF以外の、G~Hの2通り。
AGを結べば、Hの1通り。
AHを結ぶと、全部ダブルカウントされるので該当無し。
ここまでで、6+5+4+3+2+1=21通り。

BCを結べば、△ABC以外の、D~Hの5通り。すると、5+4+3+2+1=15通り。
以下、CDを結べば、4+3+2+1=10通り。
DEを結べば、3+2+1=6通り。
EFを結べば、2+1=3通り。
FGを結べば、Hの1通り。
GHを結ぶと、全部ダブルカウントされるので該当無し。
したがって、全部で21+15+10+6+3+1=56通り。

2. 並び方だけを考えるならば、まず基本が、男女男女男女男。
男子が4人並ぶと、必ず女子同士がどこかで隣り合う状態なのでNG。
男子が2人並ぶと、男女男女男男女、男女男男女男女、男男女男女男女、女男女男女男男、女男女男男女男、女男男女男女男、女男男女男男女の7通り。
男子が3人並ぶと、最右端と最左端に並ばれる場合に女子が隣り合ってしまうのでNG。よって、サンドイッチ状態に男子3人の並びを置かなければならない。→ 女男男男女男女、女男女男男男女の2通り。
したがって、1+7+2=10通り。

問2の他の考察:
「男女」を1,2番目に置けば、3,4番目には「男女」「男男」の2通り。
3,4番目が「男女」の場合、5,6,7番目には男子2人女子1人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、5番目が必ず「男」である必要が生じるので、「男女男」「男男女」の2通りが適当になる。よって、この段階で2通り(男女男女男女男、男女男女男男女)。
また、3,4番目が「男男」の場合、5,6,7番目には男子1人女子2人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、「男女女」「女女男」ではアウトなので、残りの「女男女」しか使えない。よって、この段階で1通り(男女男男女男女)。
→ 2+1=3通り。

「男男」を1,2番目に置けば、3,4番目には「男男」「男女」「女男」の3通り。
3,4番目が「男男」の場合、5,6,7番目には女子が3人並んでしまうので非該当。
3,4番目が「男女」の場合、5,6,7番目には男子1人女子2人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、「男女女」「女女男」ではアウトなので、残りの「女男女」しか使えない。しかし、4,5番目が「女女」の並びになるので、これも非該当。
3,4番目が「女男」の場合、5,6,7番目には男子1人女子2人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、「男女女」「女女男」ではアウトなので、残りの「女男女」しか使えない。よって、この段階で1通り(男男女男女男女)。
→ 1通り。

「女男」を1,2番目に置けば、3,4番目には「男男」「男女」「女男」の3通り。
3,4番目が「男男」の場合、5,6,7番目には男子1人女子2人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、「男女女」「女女男」ではアウトなので、残りの「女男女」しか使えない。よって、この段階で1通り(女男男男女男女)。
3,4番目が「男女」の場合、5,6,7番目には男子2人女子1人の状態になるから、3通りできる。しかし女子同士が隣り合わないようにするには、5番目が必ず「男」である必要が生じるので、「男女男」「男男女」の2通りが適当になる。よって、この段階で2通り(女男男女男女男、女男男女男男女)。
3,4番目が「女男」の場合、5,6,7番目には男子2人女子1人の状態になるから、3通りできる。これは「男男女」「男女男」「女男男」のどれでも良いので、この段階で3通り(女男女男男男女、女男女男男女男、女男女男女男男)。
→ 1+2+3=6通り。

∴並び方だけを考えるならば、女子同士が隣り合わないような並び方は、3+1+6=10通り

[☞順番まで考えるのであれば、他の回答者様のようになるかとは思います。ここでは「女子が隣り合わない男子4人女子3人、計7人の並び方」の考察のみに留めてあります。]

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質問した人からのコメント

2019/4/7 17:10:42

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yso********さん

2019/4/507:34:54

1、
8C3=56 個

2,
4x3x2x1x3x2x1x5=720
◯男 □女
◯□◯□◯□◯
□◯◯□◯□◯
□◯□◯◯□◯
□◯□◯□◯ ◯
◯◯□◯□◯□
これら1つで4x3x2x1x3x2x1
全部で 5つあるので
4x3x2x1x3x2x1x5=720通り

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nij********さん

2019/4/507:31:26

1.
円周上の三点はどの三点を選んでも
一直線上にはありませんから、
三角形を作りますね。

円周上の八個の点から三個の点を選ぶと、
異なる三角形が一個できますね。
三点を並べる必要はないため、
求める三角形の個数は、
(8x7x6)÷(3x2x1)=56(個)....(こたえ)
(参考)
8C3=(8x7x6)/(3x2x1)=56

2.
1男2男3男4男5
男四人を並べてから、
上の五か所から三カ所選んで
女を並べるだけあります。
(4x3x2x1)x(5x4x3)
=24x60
=1440(通り)......................(こたえ)



いかがでしよう?

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