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3次曲線y=x^3+ax^2-9x-2上の点(0,-2)における接線lはこの曲線が最大になる点を通...

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ID非公開さん

2019/4/622:08:21

3次曲線y=x^3+ax^2-9x-2上の点(0,-2)における接線lはこの曲線が最大になる点を通り、またその極大値は25である。

(1)aの値を求めよ。
(2)この3次曲線と接線lとで囲まれる部分の面積を求めよ。

いつもなら(0,-2)の部分を代入してaを求めるのですが、xが0でaが消えてしまいそこからできません!
(2)までお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

shu********さん

2019/4/622:23:49

(1)
3次関数y=x³+ax²-9x-2 について、
y'=3x²+2ax-9 より、点(0, -2)における接線の傾きは-9なので、
接線の方程式はy=-9x-2 である。
これが、極大値なる点を通るということは、
極大値のx座標をx₀とすると、
25=-9x₀-2 より、x₀=-3 したがって、
y'=3x²+2ax-9 はx=-3を解にもつから、
27-6a-9=18-6a=0 よって、a=3である。

(2) (1)よりa=3であるから、
3次関数y=x³+3x²-9x-2と接線y=-9x-2
で囲まれた部分の面積をSとすると、
S=∫[-3→0]|(x³+3x²-9x-2)-(-9x-2)|dx
=∫[-3→0]|x²(x+3)|dx
=(0-(-3))⁴/12=27/4 (※12分の1公式)
よって、S=27/4 である。

<12分の1公式>
(2)の途中で定積分の計算をいきなりやっていますが、
これは3次関数と接線に囲まれた部分の面積を求めるときに
使う12分の1公式というものを使っています。
詳しい説明は以下のURLのサイトがしているので、
そちらを参照ください。

〇URL
http://examist.jp/mathematics/math-2/integral/112area-3/

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質問した人からのコメント

2019/4/6 23:25:06

1/12の公式までご説明ありがとうございます!1が解ければ2はできたので失礼ながら答え合わせとして活用させて頂きました!ありがとうございました!

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