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m,nをm<=nである任意の正整数とし、f(x)は実変数の実数値関数であるとする。

alu********さん

2019/4/1818:42:07

m,nをm<=nである任意の正整数とし、f(x)は実変数の実数値関数であるとする。

(a)f(x)が閉区間[m,n+1]上で連続かつ単調減少であるとき、
∫m,n+1f(x) <= Σk=m,n f(k)
が成り立つことを示せ。
上記の問題がわかりません。
どなたか教えてください。

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fra********さん

2019/4/2011:53:58

区間 [k,k+1] において f(x) は減少なので

f(x) ≦ f(k) (左端の点 x=k での値 f(k) が最大)

従って [k,k+1] で積分しても

∫_[k,k+1] f(x) dx ≦ ∫_[k,k+1] f(k) dx = f(k) ∫_[k,k+1] 1 dx = f(k)

ここで k=m,m+1,・・・, n までの和をとれば

Σ_{k=m}^{n} ∫_[k,k+1] f(x) dx ≦ Σ_{k=m}^{n} f(k)

この左辺は、積分区間をつなげば

∫_[m,n+1] f(x) dx

です。

*****
図を書けば一目瞭然ですよ。

区間 [k,k+1] において f(x) は減少なので

f(x) ≦ f(k) (左端の点 x=k での値...

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