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大学数学 線形代数の問題です。

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ID非公開さん

2019/5/404:24:10

大学数学 線形代数の問題です。

写真の問題[4]の解答をよろしくお願いします。

v1 v2 v3,v1+v2+v3,線形代数,基底,ABC,大学数学,解答

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fra********さん

2019/5/803:17:59

1)基底の変換による表現行列の変換定理による方法

基底 {v1,v2,v3} を基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に変換する行列を P とすると

(v1,v2,v3)P = (v1+v2+v3, v1+v2, v1) ←Pは右から掛かることに注意

であるから、

P =

111
110
100

である。ここで逆行列 P^(-1) を計算すると

P^(-1) =

0 0 1
0 1-1
1-1 0

である。従って新しい基底での表現行列は、

P^(-1)・A・P =

6 4 3
0 1-1
0-2-1


2)座標計算による方法
f の {v1,v2,v3} に関する表現行列が

A =

123
231
312

であるから, 表現行列の定義により

f(v1)=1・v1+2・v2+3・v3 ← f(v1) の座標は (1,2,3)'=Aの1列
f(v2)=2・v1+3・v2+1・v3 ← f(v2) の座標は (2,3,1)'=Aの2列
f(v3)=3・v1+1・v2+2・v3 ← f(v3) の座標は (3,1,2)'=Aの3列

である。新しい基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に関する表現行列を求めるため、

f(v1+v2+v3), f(v1+v2), f(v1)

の基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に関する座標成分を計算する。


① f(v1+v2+v3) の基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に関する座標成分:

f(v1+v2+v3)=f(v1)+f(v2)+f(v3)

=(1・v1+2・v2+3・v3)+(2・v1+3・v2+1・v3)+(3・v1+1・v2+2・v3)

=6・v1+6・v2+6・v3== a・(v1+v2+v3)+b・(v1+v2)+c・v1

となる a,b,c を計算して

f(v1+v2+v3)==6・(v1+v2+v3)+0・(v1+v2)+0・v1

より、座標は (6,0,0)' である。ただし (6,0,0)' は転置ベクトル(ベクトルはすべて列ベクトルである)。


② f(v1+v2) の基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に関する座標成分:

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)=(1・v1+2・v2+3・v3)+(2・v1+3・v2+1・v3)

=3・v1+5・v2+4・v3= a・(v1+v2+v3)+b・(v1+v2)+c・v1

となる a,b,c を計算して

f(v1+v2)= 4・(v1+v2+v3)+1・(v1+v2)+(-2)・v1

より、座標は (4,1,-2)' である。


③ f(v1) の基底 {v1+v2+v3, v1+v2, v1} に関する座標成分:

f(v1)=1・v1+2・v2+3・v3 = a・(v1+v2+v3)+b・(v1+v2)+c・v1

を満たす a,b,c を計算して

f(v1)=3・(v1+v2+v3)+(-1)・(v1+v2)+(-1)・v1

より、座標は (3,-1,-1)' である。


従って①②③の列ベクトルを並べた

6 4 3
0 1-1
0-2-1

が求める表現行列である。

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質問した人からのコメント

2019/5/10 17:56:21

ありがとうございます

とてもわかりやすい解答でした!
参考にしてみます!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ayu********さん

2019/5/406:30:39

Pは3×3の上三角行列で、全て1

返信を取り消しますが
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