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4^a+4^b+1が平方数となる整数の組(a,b) (a≧b≧0)をすべて求めて ください。他の人...

nf1********さん

2019/5/618:59:35

4^a+4^b+1が平方数となる整数の組(a,b) (a≧b≧0)をすべて求めて
ください。他の人の質問ですが、意味のある回答がつかないまま、投票
になってしまいました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tea********さん

2019/5/820:21:23

(a,b)が解であるとき、
a≧2b-1について
(2^a)^2<4^a+4^b+1≦(2^a+1)^2 [等号成立はa=2b-1]
より解は(a,b)=(2k-1,k) [k≧1]
a<2b-1(⇒b>1)について
4^a+4^b+1=n^2 [一般性失わずn>1]
⇔{4^(a-b)}2^(2b)=(n-1)(n+1)
⇒n-1 or n+1≡0 (mod 2^(2b-1)
⇔n=t・2^(2b-1)±1 [n>1⇒t>0]
より
4^a+4^b+1=t^2・4^(2b-1)±t・4^b+1>t^2・4^a±t・4^b+1
⇒t^2・4^(a-b)±t<t^2・4^(b-1)±t=4^(a-b)+1≦2^2・4^(a-b)-2
よりt=1,2で、各場合について、4^(a-b)<4^(b-1)より
4^(b-1)-1=4^(a-b)+1
4^b-2=4^(a-b)+1
⇒解なし(∵b>1)
よって求める解は(k,2k-1) [k≧1]

  • 質問者

    nf1********さん

    2019/5/821:11:10

    ありがとうございます。
    すばらしいです。

    完全に理解できてるわけではありませんが証明できてる
    ように思います。つまらないことですが7行目は
    ⇔{4^(a-b)+1}2^(2b)=(n-1)(n+1)
    ですね。

    もとの問題は下記でした。
    https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q102066896...

    これなら(a,b,c)=(2k+m-1,k+m,m)とこれらの並び変え
    となるということですね。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2019/5/12 20:15:24

ありがとうございました。

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