ここから本文です

確率漸化式です

oka********さん

2019/5/821:14:34

確率漸化式です

バカなのでわかりやすく解説お願いしますm(__)m

確率漸化式,n-1,サイコロ,等比数列,3 4 5,解説,確率

閲覧数:
24
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

mst********さん

2019/5/822:32:11

以降、n回目にBがサイコロを投げる確率をb[n]とする。

(1)

Aがn+1回目にサイコロを投げるのは、

①n回目にAがサイコロを投げたあと、n+1回目に1,2の目がでるとき。
②n回目にBがサイコロを投げたあと、n+1回目に3,4,5の目がでるとき。

の2通りある。

①の確率は、a[n]・(2/6) = (1/3)a[n]
②の確率は、b[n]・(3/6) = (1/2)b[n]

①②は互いに排反なので、

a[n+1] = (1/3)a[n] + (1/2)b[n] ・・・(i)


Bがn+1回目にサイコロを投げるのは、

①n回目にBがサイコロを投げたあと、n+1回目に1,2の目がでるとき。
②n回目にAがサイコロを投げたあと、n+1回目に3,4,5の目がでるとき。

の2通りある。

①の確率は、b[n]・(2/6) = (1/3)b[n]
②の確率は、a[n]・(3/6) = (1/2)a[n]

①②は互いに排反なので、

b[n+1] = (1/3)b[n] + (1/2)a[n] ・・・(ii)


(i)(ii)を足し合わせて、

a[n+1] + b[n+1] = (5/6)(a[n] + b[n])

a[1] = 1、b[1] = 0 より、数列{a[n] + b[n]}は、

初項: a[1] + b[1] = 1
公比: 5/6

の等比数列。

a[n] + b[n] = 1・(5/6)^(n-1) = (5/6)^(n-1) ・・・(iii)


(i)(ii)を引き算して、

a[n+1] - b[n+1] = (-1/6)(a[n] - b[n])

a[1] = 1、b[1] = 0 より、数列{a[n] - b[n]}は、

初項: a[1] - b[1] = 1
公比: -1/6

の等比数列。

a[n] - b[n] = 1・(-1/6)^(n-1) = (-1/6)^(n-1) ・・・(iv)

(iii)(iv)より、

∴ a[n] = (1/2)[{(5/6)^(n-1)} + {(-1/6)^(n-1)}]




(2)

n回目にサイコロを投げてAが勝つのは、n回目にAがサイコロを投げて6の目が出る時だから、

P[n] = (1/6)a[n]

= (1/12)[{(5/6)^(n-1)} + {(-1/6)^(n-1)}]



(3)

n回以内のサイコロ投げでAが勝つのは、

1回のサイコロ投げでAが勝つ + 2回のサイコロ投げでAが勝つ + 3回のサイコロ投げでAが勝つ + .... + n回のサイコロ投げでAが勝つ

= Σ(k=1からn) P[k]

= (1/12)・[{1 - (5/6)^n}/{1 - (5/6)}] + (1/12)・[{1 - (-1/6)^n}/{1 - (-1/6)}]

= [(1/2)・{1 - (5/6)^n}] + [(1/14)・{1 - (-1/6)^n}]

= (4/7) - {(1/2)・(5/6)^n} - {(1/14)・(-1/6)^n}


ご自身でも計算して確かめてください。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる