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偏微分の問題です。 f=(x^2+y^2+z^2)^-1/2のとき、fxx+fyy+fzz =0を示せ なの...

ban********さん

2019/6/914:49:58

偏微分の問題です。

f=(x^2+y^2+z^2)^-1/2のとき、fxx+fyy+fzz =0を示せ
なのですが計算が合わず困っています。詳しい解説お願いします!
fxxは、fxx=(2x^2-y^2-z^2)/(x^2+y^2+z^2)^5/2と

なるそうです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

dap********さん

2019/6/915:24:56

r^2=x^2+y^2+z^2,
f=1/r
f^2=1/r^2
2ffx=-2x/r^4
fx=-x/(fr^4)=-x/r^3
fxx=-(r^3-x(r^3)x)/r^6=-(r^3-3x^2r)/r^6=(3x^2-r^2)/r^5,

fyy=(3y^2-r^2)/r^5,
fzz=(3z^2-r^2)/r^5,

fxx+fyy+fzz=(3x^2-r^2+3y^2-r^2+3z^2-r^2)/r^5=0.

質問した人からのコメント

2019/6/14 13:50:04

ありがとうございます

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cli********さん

2019/6/915:24:11

ban********さん

偏微分では偏微分する変数以外を定数として扱えばよいです. ご理解はできていますか?

したがって …

f(x) = (x^2+k)^n という1変数関数の微分を考えてみましょう.
(1) x で微分すると, n乗のnが全体の係数となり, (n-1)乗になります.
(2) さらに, (x^2+k) という関数と x^n の合成関数だから, x^2 の導関数として 2x が積として出てきます.
したがって
f'(x) = n(x^2+k)^(n-1)・2x = 2nx (x^2+k)^(n-1)

さあ, 上式で, k の代わりに y^2+z^2, n=-1/2 としてみましょう.
fx(x,y,z) = - x (x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
同様にして, さらに x で微分しましょう. 先と同様にする部分と, 乗法の公式を組み合わせます.
fxx(x,y,z)
= - (x^2+y^2+z^2)^(-3/2)
+ (3/2) x (x^2+y^2+z^2)^(-5/2) 2x
= - (x^2+y^2+z^2) (x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
+ 3 x^2 (x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
= (2x^2-y^2-z^2) (x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
= (2x^2-y^2-z^2) / (x^2+y^2+z^2)^(5/2)

同様にして, 対称性から, 上式の結果から, x から y, z に置きかえれば, fyy と fzz が導かれますね.

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