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理想気体の比熱が温度の一次関数で Cp=a1+bT Cv=a2+bT Cp-Cv=R とあらわされる...

浜ちゃんさん

2019/6/1216:31:53

理想気体の比熱が温度の一次関数で
Cp=a1+bT
Cv=a2+bT
Cp-Cv=R
とあらわされるとき、断熱変化の際のv,T間の関係式を導いてください。

また、状態1(P1,T1)から状態2(P2,T2)へ断熱膨張する際の仕事量を求めてください。
ただし、a1,a2,bは定数。Rは気体定数です。

宿題で出たのですが全く分からないのでお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

pla********さん

2019/6/1422:27:26

理想気体の場合Uは温度のみの関数で、dUは
dU=(∂U/∂T)_vdT=CvdT...(i)
と書けます。
一方熱力学第一法則によれば
dU=dQ+dW...(ii)
ですが、断熱変化で仕事が体積変化の場合は
dU=dW=-PdV...(iii)
となります。(i)と(iii)を等値すると
CvdT=-PdV...(iv)
です。理想気体の状態方程式よりP=RT/Vですから
CvdT=-(RT/V)dV
(Cv/T)dT=-(R/V)dV...(v)
となります。与えられた比熱の温度依存性より
((a2+bT)/T)dT=-(R/V)dV...(vi)
となります。これを初期1から終点2まで積分します。
a2ln(T2/T1)+b(T2-T1)=-Rln(V2/V1)...(vii)
この式は
ln{(T2/T1)^a2(V2/V1)^R}+ln(e^bT2/e^bT1)=0
即ち
ln{(T2/T1)^a2(V2/V1)^Re^bT2/e^bT1}=0
ですから
(T2^a2)(V2^R)e^bT2=(Tl^a2)(V1^R)e^bT1...(viii)
となります。これより
(T^a2)(V^R)e^(bT)=一定...(ix)
の変化をすることが分かります。
仕事量を系が受け取った仕事と考えればW=-∫PdVです。これは(iv)を見れば
W=∫CvdT=∫(a2+bT)dT=a2(T2-T1)+(b/2)(T2^2-T1^2)
=(T2-T1)(a2+(b/2)(T2+T1)...(x)
となります。断熱膨張ならT2<T1でW<0となり外部にこれだけの仕事をすることになります。

質問した人からのコメント

2019/6/18 17:29:01

わかりやすいご説明ありがとうございます。

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