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次の関数項級数がI上で一様に収束していることを証明せよ。

axv********さん

2019/6/1621:34:43

次の関数項級数がI上で一様に収束していることを証明せよ。

Σ[n=1→∞]1/n^x I=[a,∞) a>1
この問題がわかりません
わかる方出来るだけ詳しくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

iph********さん

編集あり2019/6/1716:59:58

見やすくするために
x の代わりに t にします


まず証明に必要なことを計算すると

Σ[k=n+1,m] 1/kᵗ
≦ Σ[k=n+1,m] ∫[k-1, k] 1/uᵗ du
= ∫[n, m] 1/uᵗ du
= (m⁻ᵗ⁺¹-n⁻ᵗ⁺¹)/(-t+1)
= (n⁻ᵗ⁺¹-m⁻ᵗ⁺¹)/(t-1)
= ( 1/nᵗ⁻¹ - 1/mᵗ⁻¹ )/(t-1)
≦ lim[t-1→0] ( 1/nᵗ⁻¹ - 1/mᵗ⁻¹ )/(t-1)
= log(m/n) .

また log(m/n)<ε とすると n>m*exp(-ε) .



証明 : 一様収束 .

任意の ε>0 , t∈(1,∞) に対して
ある自然数を N'=m*exp(-ε) とする
m>n>N' を満たす ∀n,m に対して

| Σ[k=1,m] 1/kᵗ - Σ[k=1,n] 1/kᵗ |
= Σ[k=n+1,m] 1/kᵗ ≦ log(m/n) < ε .

どうでしょう…?

質問した人からのコメント

2019/6/21 01:06:50

回答ありがとうございました
結局違う解き方で解きましたが丁寧に書いてくれていたのでベストアンサーにさせていただきます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ble********さん

編集あり2019/6/1915:51:06

1/n^x≦1/n^a

∑[n=2...∞]1/n^a≦∫[1→∞]x^(-a)dx<∞

よって一様収束します

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