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m,nは整数です。積mnが奇数ならば、m,n はともに奇数である。を背理法を用いて証...

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ID非公開さん

2019/6/1911:19:57

m,nは整数です。積mnが奇数ならば、m,n はともに奇数である。を背理法を用いて証明せよ。
よろしくお願いします。

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yvu********さん

2019/6/1911:27:20

①m,nを2k,2lとおく。(k,lは整数)

mn
=2k×2l
=4kl
=2(2kl)

②n=2l-1とおく
mn
=2k(2l-1)
=2(2kl-k)

③m=2k-1とおく
mn
=(2k-1)×2l
=2(2kl-l)

すなわちmnは偶数になる。
よって不適。

mnは共に奇数。

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質問した人からのコメント

2019/6/19 11:53:11

ありがとうございました。わかりやすかったです。

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カテゴリマスター

2019/6/1911:45:15

『背理法とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けること』

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q112093631...

この問題で P に相当するもの:

P:《mとnは整数。積mnが奇数ならば、m,n はともに奇数である》

この P が偽であるとは、

《m×n が奇数のときに、m か n のいずれかが偶数になる》

ということ。

例えば、mが偶数であったとすれば、

m=2×ℓ(ℓ:整数)

と書ける

このとき

m×n=(2×ℓ)×n=2×(ℓ×n)…①

であり、①は2で割り切れる、つまり m×n は偶数であることを意味する

これは P の仮定に相当する『積mnが奇数』に矛盾する。

nが偶数の場合も同様。

m(_ _)m

2019/6/1911:26:00

mnが偶数であると仮定すると、mn=2kと表せます。
このとき、右辺に素因数「2」があるので、左辺にも素因数「2」があることになります。
つまりmかnのどちらかに2があることになるので、その2をもつ方が偶数になります。
よって、m,nがともに奇数であるということと矛盾するので圧倒的証明完了です。

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