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相加相乗平均について 一般的に相加相乗平均はa,bが正のときに成り立つとありま...

gam********さん

2019/7/818:06:17

相加相乗平均について

一般的に相加相乗平均はa,bが正のときに成り立つとあります。

a>0,b>0のとき,(a+b)/2≧√ab

a≧0,b≧0としても上の不等式は成り立ちますが、
なぜ相加相乗はa>0,b>0としているのか調べたら、色々な回答があります。

①1/xとかの場合、正でないと困るから
②調和平均を考慮すると、分母0は困るから
③a≧0,b≧0としても問題ない

と3通りの解答を見かけました。

どれが正しいのでしょうか?

それとも細かいことを気にせず、普通にa>0,b>0のときで覚えればいいのですか?

お願いいたします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

inn********さん

2019/7/818:20:27

①②③のいずれも正しいことを述べていると思います。

まず③については質問者さんも述べているように、
「a≧0,b≧0のとき,(a+b)/2≧√ab」は真です。

しかしこの関係式を何かに利用するとき、①や②のような
両辺が0でないことを前提としたい、あるいは両辺が0である場合には
興味がないという場合が含まれます。0≧0なんて自明ですからね。
その場合は
「a>0,b>0のとき,(a+b)/2≧√ab」
という形を定理とした方が無駄な議論をする必要がなく使い勝手が良いです。

結局のところ、
「a≧0,b≧0のとき,(a+b)/2≧√ab」

「a>0,b>0のとき,(a+b)/2≧√ab」
もいずれも真であり、どちらも相加相乗平均の不等式と呼ばれます。
どちらも真である以上、いずれかがより正しいということはないです。

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質問した人からのコメント

2019/7/9 17:47:31

ありがとうございます。

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zuz********さん

2019/7/818:23:25

③a≧0,b≧0としても問題ない

ですが

相乗平均は普通0を考えないので あえてa>0,b>0としていると思います。

cet********さん

2019/7/818:10:40

③は正しいと思いますが,①②は何を言っているのかよくわかりません

eza********さん

編集あり2019/7/818:10:51

基本的には上二つ

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