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幾何の問題で、「△ABCにおいて、各頂点から対辺に垂線をおろし、それぞれ、P,Q,Rと...

mim********さん

2019/7/1414:54:34

幾何の問題で、「△ABCにおいて、各頂点から対辺に垂線をおろし、それぞれ、P,Q,Rとするとき、△ABCの垂心Hは△PQRの内心であることを証明せよ」という問題があったのですが、

その証明を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

fuj********さん

2019/7/1415:40:20

図形の問題ですが、ここに図形が描けないので説明が難しいですが、
以下のように考えてください。
まず「頂点をA、辺BCが底辺で点Bが底辺の左、天Cが底辺の
右になるよう、△ABCを描きます」
そして「頂点Aから向かいの辺BCに垂線を下ろし、辺BCとの交点をP
、頂点Bから向かいの辺CAに垂線を下ろし、辺CAとの交点をQ
、頂点Cから向かいの辺ABに垂線を下ろし、辺ABとの交点をR」とします。
さらに「この3本の線の交点(垂心になります)をH」とします。
まず∠BRC=∠BQC (=90°)ですから
「円周角の逆」より「点B,C,Q,Rは同一円周上にある」から
「弧RBの円周角は等しいから∠RQB=∠BCR・・・①」
また∠HQC+∠HPC=180°であるから
点H、P、C、Qは同一円周上にある。
従って、この円の弧HPの円周角∠HQP=∠PCH・・・②である。
さらに∠HQP=∠BQP・・・③であり、∠PCH=∠BCR・・・④
①、②、③、④より∠RQB=∠BQP
つまり、直線BQは∠RQPの二等分線となる。
同様に直線AP、CRは各角A、Cの二等分線となる。
従って、点Hは△ABCの垂心であり、△PQRの内心となる。

質問した人からのコメント

2019/7/15 20:18:09

ご回答ありがとうございました。
僕は3つの内角がどれも直角より小さいという仮定をかきわすれていたようです。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

tli********さん

2019/7/1415:55:47

正しくないので証明出来ません。

「△ABCにおいて、各頂点から対辺に垂線をおろし、それぞれ、P,Q,Rとするとき、△ABCの垂心Hは△PQRの内心であることを証明せよ」

△ABCが直角三角形の時、△PQRが出来ません。

△ABCが鈍角三角形の時、△PQRの傍心になります。

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