ここから本文です

x^2020‐x^2019+1をx⁴‐1で割った余りの求め方を教えてください

アバター

ID非公開さん

2019/7/1421:47:56

x^2020‐x^2019+1をx⁴‐1で割った余りの求め方を教えてください

閲覧数:
27
回答数:
3

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

2019/7/1422:13:08

x^2020-x^2019+1
=(x^4-1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
と置き、x=±1, ±i を代入すれば
因数定理により4元1次連立方程式が立つので
これをa,b,c,dについて解けばよい。
(因数定理は複素数の範囲で成立する。)

連立方程式は
http://ja.wolframalpha.com/input/?i=%7Ba+%2B+b+%2B+c+%2B+d+%3D%3D+1...

余りは
http://ja.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E3+%2B+2

ベストアンサー以外の回答

1〜2件/2件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

aga********さん

2019/7/1422:57:45

既に回答出てるけど、別解。

x^2020 - 1 = (x^4 - 1)(x^2016 + x^2012 + … + x^4 + 1)
x^2019 - x^3 = x^3(x^2016 - 1) = x^3(x^4 - 1)(x^2012 + x^2008 + … + x^4 + 1)
より、これらはx^4 - 1 で割り切れる。
x^2020 - x^2019 + 1 = (x^2020 - 1) - (x^2019 - x^3) - x^3 + 2
より、求めるあまりは-x^3 + 2

yos********さん

2019/7/1422:40:25

x^4-1=0のひとつの解をpとすると
p^4-1=0
p^4=1
p^2020-p^2019+1をp^4-1で割ったときの
商をQ(p)、余りをR(p)とする
ただし、R(p)は高々3次のpに関する整式
このとき
p^2020-p^2019+1=Q(p)(p^4-1)+R(p)
(p^4)^505-(p^4)^504・p^3+1=Q(p)(p^4-1)+R(p)
1-p^3+1=R(p)【∵p^4=1】
よって
R(p)=-p^3+2
したがって
x^2020-x^2019+1をx^4-1で割ったときの余りは
-x^3+2…(答)

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる