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文字 A, B を横1列に n 個ならべる。その際、A の右隣りに並べる文字は B である...

san********さん

2019/7/1703:55:46

文字 A, B を横1列に n 個ならべる。その際、A の右隣りに並べる文字は B であるとする。
このような並べ方の総数を S(n) とするとき、S(2017) を 11 で割った余りを求めよ。

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nep********さん

2019/7/1716:45:47

A[1]=0,B[1]=1,S[n]=A[n]+B[n]

A[n+1]=B[n]
B[n+1]=B[n]+A[n]


B[n+2]=B[n+1]+B[n]
これを解いて、
B[n]=[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5

A[n]=[{(1+√5)/2}^(n-1)-{(1-√5)/2}^(n-1)]/√5


S[n]
=[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5+[{(1+√5)/2}^(n-1)-{(1-√5)/2}^(n-1)]/√5
=[{(1+√5)/2}^(n+1)-{(1-√5)/2}^(n+1)]/√5

S[2017]
=[{(1+√5)/2}^2018-{(1-√5)/2}^2018]/√5
=[{(3+√5)/2}^1009-{(3-√5)/2}^1009]/√5
=[{(3+√5)/2}{(7+3√5)/2}^504-
{(3-√5)/2}{(7-3√5)/2}^504]/√5
=[{(3+√5)/2}{(47+21√5)/2}^252-
{(3-√5)/2}{(47-21√5)/2}^252]/√5
≡[{(3+√5)/2}{(3-√5)/2}^252-
{(3-√5)/2}{(3+√5)/2}^252]/√5
=[{(3+√5)/2}{(7-3√5)/2}^126-
{(3-√5)/2}{(7+3√5)/2}^126]/√5
≡[{(3+√5)/2}{(3+√5)/2}^63-
{(3-√5)/2}{(3-√5)/2}^63]/√5
=[{(7+3√5)/2}^32-{(7-3√5)/2}^32]/√5
≡[{(3-√5)/2}^16-{(3+√5)/2}^16]/√5
=[{(7-3√5)/2}^8-{(7+3√5)/2}^8]/√5
≡[{(3+√5)/2}^4-{(3-5)/2}^4]/√5
=[{(7+3√5)/2}^2-{(7-3√5)/2}^2]/√5
≡{(3-√5)/2-{(3+√5)/2}/√5
=-1 (mod11)

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