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東大2009数学 問題 自然数m>=2に対し、m-1個の二項係数mC1.mC2.....mCm-1を考え...

ASGhGbnさん

2019/8/1013:44:07

東大2009数学
問題
自然数m>=2に対し、m-1個の二項係数mC1.mC2.....mCm-1を考え、これらすべての最大公約数をdmとする。
(1)mが素数ならば、dm=mを示せ。

青チャートの解答
【1】m=2の

とき
d=2より成り立つ。
【2】mが3以上の素数のとき
mC1=mであるから、mC2.....mCm-1がmの倍数であることを示せばよい。
式略
よってk・mCk=m・m-1Ck-1
ここで2<=k<=m-1であるからkとmは互いに素であり、mCkはmの倍数
従ってdm=mが成り立つ
【1】【2】より示された。

m=2とそれ以外で場合分けした必要が分かりません。教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ひことさん

2019/8/1021:35:08

場合分けしなくても減点要素はないと思います。ただm=2だと
「mC2,,,mCm-1がmの倍数である・・」
とかは該当するものがないし、なんか気持ち悪いから一応、程度と思います。

質問した人からのコメント

2019/8/11 07:25:08

ありがとうございます!

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