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問 8、88、888・・・という数列がある。 この数列の初項から第n項までの和を 10^...

jem********さん

2019/8/1416:21:23

問 8、88、888・・・という数列がある。
この数列の初項から第n項までの和を
10^a+nb+cと表す。
このとき、a、b、cの値は何か?
という問題があるのですが、解答と解き方を教えて頂きたいで

す。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

dok********さん

2019/8/1422:31:41

漸化式と等差数列の方法があります。両方で。
等差) 並び数なので、以下に気付く。
a1=8
a2=88=8×10^1+8
a3=888=8×10^2+8×10^1+8
‥‥
an=8(10^(n-1)+10^(n-2)‥‥10^1+1)
よって、()の中は、項比10,初項1の等比数列の和
∴ an=8×{(10^n)-1}/9
∴ Σ(an)=(8/9)Σ(10^n)-Σ(8/9)
=(8/9)(8/9)(10^n-1)-8n/9
漸化式)
a1=8
a2=88=8×10+8
a3=88×10+8
‥‥
an=a(n-1)×10+8‥‥特性方程式で、α=10α+8→α=-8/9
an+8/9=10a(n-1)+8+8/9
an+8/9=10(a(n-1)+8/9) an+8/9=bnと置くと、
bn=10b(n-1) より、bnは項比10,初項(8+8/9)=80/9
bn=(80/9)10^(n-1)=(8/9)10^n
an=bn-8/9=(8/9)10^n-8/9‥見た目は違うが上と同じ。
後は、Σanを求めるだけ。

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ssm********さん

2019/8/1417:27:07

「等比数列」の知識が必須です。
a[n]=(8/9)*{10^n - 1}, (n=1, 2, ...)
ですから、
S[n]=Σ[k=1~n]a[k] を計算してください。
---------------
※ S[n]=(8/81)*{10^(n+1) - 9n - 10}.

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