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(∂S/∂V)t=(∂P/∂T)v

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ID非公開さん

2019/8/1813:29:09

(∂S/∂V)t=(∂P/∂T)v

この式の導出をお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

pla********さん

2019/8/2320:42:17

熱力学的ポテンシャルが完全微分だということを認めればご質問の式は導けます。
完全微分がどういうものかというと、まずあるf=f(x, y)があった時にこれが微分可能であれば
df=(∂f/∂x)_ydx+(∂f/∂y)_xdy...(i)
と書けます。これを全微分といいます。fをxで微分したものを(∂f/∂x)_y=f_x, fをyで微分したものを(∂f/∂y)_x=f_yと書いた時、(i)は
df=(f_x)dx+(f_y)dy...(ii)
です。f_x, f_yを互いに変数を変えて再度微分すると
∂^2f/∂y∂x=f_xy ...(iii)
∂^2f/∂x∂y=f_yx...(iv)
となります。(iii)はfをxで微分し、ついでyで微分したもの、(iv)はその逆の順序で2階微分したものです。
さて、ある領域でf_xy, f_yxが連続ならばf_xy=f_yxであることが証明できます。そしてf_xy=f_yxが成立しているとき(i)(あるいは(ii))は完全微分であると言います。そしてU、H、F、Gなどは完全微分なのです。たとえば独立変数としてT、Vをとると
dF=-SdT-PdV...(v)
です。これより
(∂F/∂T)_v=-S...(vi)
(∂F/∂V)_t=-P...(vii)
となります。更に(vi)をVで、(vii)をTで微分すれば
∂^2F/∂V∂T=-(∂S/∂V)_t...(viii)
∂^2F/∂T∂V=-(∂P/∂T)_v...(ix)
を得ます。完全微分なら(viii)と(ix)は等しいですから
(∂S/∂V)_t=(∂P/∂T)_v...(x)
となります。

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