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「整数係数n次分離monic多項式fのGalois群が、根のn次巡回置換を含まないならば、...

tom********さん

2019/9/813:43:24

「整数係数n次分離monic多項式fのGalois群が、根のn次巡回置換を含まないならば、各素数pに対してf mod pが可約であることを示せ。」
この問題がわかりません。

数学の得意な方、答え或いはヒントだけでもくださいませんか?

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カテゴリマスター

2019/9/1021:02:33

fは既約として良い。

f mod pが既約なら、
k=F_p[x]/f(x)
はF_pのn次ガロア拡大で、有限体のガロア群は巡回群だから、n次巡回拡大。

fの最小分解体Kとすると全射
gal(K/Q) → gal(k/F_p)
があり、gal(K/Q)はS_nの部分ぐんとみなせるから、元の位数の最大はnで、
商群に位数nの元(フロベニウス)があるから、その持ち上げgも位数nである。
つまりgはn次の巡回置換

質問した人からのコメント

2019/9/10 22:57:05

大変参考になりました。自然な持ち上げの存在を知らなかったので非常に感銘を受けました。
お礼としては足りないと思いますがBAを差し上げます。ありがとうございました。

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