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f(x)=−x²+ax+a−2、g(x)=x²−(a−2)x+3について、次の条件を満たすように、定数aの値...

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ID非公開さん

2019/9/1322:26:43

f(x)=−x²+ax+a−2、g(x)=x²−(a−2)x+3について、次の条件を満たすように、定数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。

(1)どんなxの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ。

(2)どんなx₁、x₂の値に対してもf(x₁)<g(x₂)が成り立つ

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/9/1400:22:44

(1)
h(x)=g(x)-f(x)として
h(x)>0であればよいから
h(x)=x^2-(a-2)x+3-(-x^2+ax+a-2)=2x^2-2(a-1)x-a+5
h(x)>0となる条件は
h(x)=の判別式DについてD<0
D/4=(a-1)^2-2(-a+5)
=a^2-2a+1+2a-10
=a^2-9
=(a+3)(a-3)<0
∴-3<a<3

(2)
f(x)の最大値<g(x)の最小値であればよい
f(x)=-{x-(a/2)}^2+(1/4)a^2+a-2
g(x)={x-(a-2)/2}^2+(-a^2+4a+8)/4 より
(1/4)a^2+a-2<(-a^2+4a+8)/4
a^2+4a-8<-a^2+4a+8
2a^2<16
a^2<8
-2√2<a<2√2

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