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相似な図形の考え方について質問です。

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ID非公開さん

2019/9/1502:05:08

相似な図形の考え方について質問です。

中学三年生の学習内容に、平行線と線分の比がありますが、その定理の証明は、与えられた図の中に、三角形の相似条件を見出し、相似な図形であることが証明された上で、比の性質が示されています。

学習の流れとしても、相似条件を学習し、相似の証明を学んだ上での、平行線と線分の比の定理の証明になっていますが、

逆に相似の証明を、平行線と線分の比の定理を用いて行うことは可能なのでしょうか。

平行線と線分の比の定理というのが、相似がしめされているからのものであれば、定理を根拠に相似は証明できないと考えるのですが、いかがでしょうか。

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suz********さん

2019/9/1914:16:40

平行線と線分の比の関係は、相似を使わないで証明ができます。

例えば、下図のように2つの直線がいくつかの平行線によって

切り取られている場合を考えます。

この時、

例えば、AB:BC=A'B':B'C'を次のように示す事ができます。

補助線として、AB',CB',A'B,C'Bを引きます。

△B'ABと△B'BCは底辺をAB,BCとみると高さが等しいから、

△B'AB:△B'BC=AB:BC.......①

同じように考えて、

△BA'B':△BB'C'=A'B':B'C'.....②

ところで、

△B'ABと△BA'B'は底辺BB'を共通にもつ平行線にはさまれた

三角形だから

△B'AB=△BA'B'

同じように、

△B'BC=△BB'C'

よって、

△B'AB:△B'BC=△BA'B':△BB'C'

よって、①、②より、

AB:BC=A'B':B'C'

(補足)

2つの三角形△ABCと△A'B'C'が相似とは、

3組の対応する辺の比が等しく、対応する角がすべて等しい

三角形と定義されています。

良く知られている三角形の相似条件は、

(i)....2組の角が等しい時、

(ii)...2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい時、

(iii)..3組の辺の比が等しい時

となっていますが、

それぞれにつて、三角形が相似である事の証明をやってみます。

(i)

△ABCと△A'B'C'で、∠A=∠A', ∠B=∠B'と仮定する。

三角形の内角の和は180だから、∠C=∠C'......①

仮定より、△ABCと△A'B'C'の頂点A,A'が重なるよう、辺AB、AC上に

辺A'B'辺A'C'がくるように出来る。この時、∠B=∠B'だからBC//B'C'

平行線と線分の比の関係から、AB:A'B'=AC:A'C'.....②

同じように、頂点B,B'が重なるように置く。

この時、∠A=∠A'より、AC//A'C'

平行線と線分の比の関係から、AB:A'B'=BC:B'C'.....③

よって、②、③より、

AB:A'B'=BC:B'C'==AC:A'C'

①より、

∠A=∠A', ∠B=∠B',∠C=∠C'

よって、

△ABC∽△A'B'C'

(ii)

△ABCと△A'B'C'で、∠A=∠A', AB:A'B'=AC:A'C'と仮定する。

△ABCの辺AB上に、AD=A'B'となるようにDをとり、点DからBCに

平行な直線がA'B'と交わる点をEとする。

(i)より、△ABC∽△ADE

又、

△ADE≡△A'B'C'

よって、

△ABC∽△A'B'C'

(iii)

△ABCと△A'B'C'で、AB:A'B'=BC:B'C'=AC:A'C'と仮定する。

△ABCの辺AB上に、AD=A'B'となるようにDをとり、点DからBC

に平行な直線がA'B'と交わる点をEとする。

(i)より、△ABC∽△ADE

又、

△ADE≡△A'B'C'

よって、

△ABC∽△A'B'C'

平行線と線分の比の関係は、相似を使わないで証明ができます。...

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質問した人からのコメント

2019/9/21 12:29:33

細かくて丁寧なご回答ありがとうございました。
お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。
理解ができて、スッキリしました。
本当にありがとうございました。

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