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音楽の証明問題、について 約30年前のことですが、県立高校入試の数学の最...

yan********さん

2019/10/705:28:23

音楽の証明問題、について


約30年前のことですが、県立高校入試の数学の最後の問題は必ず証明問題だったな、と記憶しています。

そこでふと、音楽のテストでも証明問題って作れるのだ

ろうか? と考えてみました。まず思いついたのは以下の設問です。

・ 異名同調、それら2つのそれぞれの調号の♭と♯を足したとき、和が12になることを証明せよ

個人的には、以下が解になるかな? と考えています。


ハ長調の異名同調を重変ニ長調と置く。これはニ長調

レミファ♯ソラシド♯

を半音2つぶん下げたものであるから、

レ♭♭ミ♭♭ファ♯♭♭ソ♭♭ラ♭♭シ♭♭ド♯♭♭

となり、

レ♭♭ミ♭♭ファ♭ソ♭♭ラ♭♭シ♭♭ド♭

となり、重変ニ長調の調号の♭の数は、2x7ー2=12個となる。

ハ長調と重変ニ長調のペアを、完全5度ずつ上に移調する。

・ 完全5度上に移調すると調号は♯が1つ増えるか♭が1つ減る

法則により、重変ニ長調側がハ長調になるまで繰り返すと、ペアの調号の♯と♭の数の組み合わせは、

0と12、1と11、2と10、3と9、4と8、5と7、6と6、7と5、8と4、9と3、10と2、11と1、12と0

の13組となる。現代で存在する調号は♯♭共に7つ以内であるから、現代の異名同調も、この13組の範囲内のいずれかである。以上


質問

上記の解は、上記の設問の証明になっていますか?

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miy********さん

2019/10/707:56:22

証明、というほどでもないですが、5度圏を12回回ったら元に戻ります。

一方でこういう問題も考えられます。

一般的に振動比2倍で1オクターブ上がる。

ここで、純正律のもとでは5度音程が上がるごとに振動比が1.5倍になる。

純正律は平均律と異なることを説明せよ。

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2019/10/809:23:58

それもいいかもしれませんね。

私はこう考えました。

調号に♯を1つ付加するごとに調は完全5度高くなり、これを12回繰り返せば元の調に戻る。また、調号に♭を1つ付加するごとに調は完全5度低くなり、これを12回繰り返せば元の調に戻る。

1オクターブは12半音で、完全5度は7半音である。

12と7の最小公約数を算出する。

それぞれを素数分解すると

7 = 2^0 x 3^0 x 7^1
12 = 2^2 x 3^1 x 7^0

なので、それぞれの素数の指数の大きいほうを掛ける

2^2 x 3^1 x 7^1 = 4 x 3 x 7 = 84

算出された最小公倍数84を完全5度(7半音)で割ってみる。

84 / 7 = 12

そりゃそうだ(結果、この計算にあまり意味はないw)

が、ともかく完全5度の移調を同一方向に12n回繰り返せば元の調に戻る。12回を何回繰り返しても元の調に戻る。

よって、

調号として♯がa個の調と♯がa + 12n個の調は異名同調であり、
調号として♭がa個の調と♭がa + 12n個の調は異名同調である。

例えば

調号♭2個(変ロ長調)は、調号♭14個(重変ハ長調)と異名同調、
調号♯6個(嬰へ長調)は、調号♭18個(重嬰ホ長調)と異名同調である。

ところで、♯1つで調が完全5度上がる、♭1つで調が完全5度下がることから

♯ = -♭

である。

よって、

調号♭2個(変ロ長調)は、調号♯10個(嬰イ長調)と異名同調、
調号♯6個(嬰へ長調)は、調号♭6個(変ト長調)と異名同調である。

以上により、各異名同調の関係においてそれぞれの調号の数の和は12の自然数倍(1以上の整数)となる。

しかし、通常の範囲では♯、♭それぞれの最大数は階名の数である7個である。その範囲で検討すれば、各異名同調の関係においてそれぞれの調号の数の和は12となる。

途中、「わかるよね」的にすっ飛ばしているし、要らない計算もしてますね。

個人的には「各異名同調の関係においてそれぞれの調号の数の和は12の自然数倍(1以上の整数)となる」で終わらせたい。理論上の話なので、アルカンの大ソナタに出てくる嬰イ長調のような話まで含んでもいいかなーって。。。

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boy********さん

2019/10/714:10:48

> 現代で存在する調号は♯♭共に7つ以内であるから、現代の異名同調も、この13組の範囲内のいずれかである。

というところをもう少し詳しく説明していただけないでしょうか.♯♭共に7つ以内とすると,5と7,6と6,7と5の3組しか無いように思えるのですが.

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