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数Ⅰの2次不等式の成立条件の問題です。 -2≦x≦2を満たすすべてのxに対して,k≦x...

nkd********さん

2019/10/1123:47:13

数Ⅰの2次不等式の成立条件の問題です。

-2≦x≦2を満たすすべてのxに対して,k≦x^2+kx+3であるための定数kの値の範囲を求めよ。

答えは-7≦k≦2 なのですが,解き方が分かりません。解説お願いします。

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enter_web39さん

2019/10/1201:44:12

k≦x^2+kx+3
⇔x^2+kx-k+3≧0
⇔{x+(k/2)}^2-k^2/4 -k+3≧0

y={x+(k/2)}^2-k^2/4 -k+3とおくと,
この関数のグラフの頂点は(-k/2,-k^2/4 -k+3)

(i)-k/2≦-2 すなわちk≧4のとき
-2≦x≦2におけるyの最小値はx=-2のとき-3k+7
この値が0以上となれば-2≦x≦2において
yの値が常に0以上となるので,-3k+7≧0 ∴k≦7/3
これはk≧4に反するので不適

(ii)-2<-k/2<2 すなわち-4<k<4のとき
-2≦x≦2におけるyの最小値はx=-k/2のとき-k^2/4 -k+3
この値が0以上となれば-2≦x≦2において
yの値が常に0以上となるので,-k^2/4 -k+3≧0
よって,k^2+4k-12≦0
つまり,(k+6)(k-2)≦0 ∴-6≦k≦2
kの条件を含めると,-4<k≦2 ...①

(iii)2≦-k/2 すなわちk≦-4のとき
-2≦x≦2におけるyの最小値はx=2のときk+7
この値が0以上となれば-2≦x≦2において
yの値が常に0以上となるので,k+7≧0 ∴k≧-7
kの条件を含めると,-7≦k≦-4 ...②

以上より求めるkの値の範囲は①,②を合わせたものなので,-7≦k≦2
となる。



頂点の位置によって最小値を場合分けし,それぞれで与式が成り立つkの値の範囲を求め,出てきた解を合わせると問題の答えが出ます

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