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大学数学 数列表現 連続

mer********さん

2019/10/1717:27:27

大学数学 数列表現 連続

よく数学の解析の定義において同値な表現として数列表現がありますよね

例えば

∀ε>0,∃δ>0 s.t. ∀x∈D,|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε



∀ε<0,∃{x_n}∈D\{a} s.t. x_n→a(n→a)⇒|f(x_n)-f(a)|<ε

こんなのありますよね
なんでわざわざ数列で表現するんですか
この表現で助かったり便利だったことないんですけどどういうところで役に立つんでしょうか

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ベストアンサーに選ばれた回答

yakinikuさん

2019/10/2015:47:37

数列での連続の定義の言い換えが違っています。∃{x_n}ではなく∀{x_n}です。
で、この言い換えのメリットは、既に極限が存在すると分かっているなら特殊な数列での収束先を調べればそれが極限だと確定するということです。例えばgはaで微分可能なとき、g(a+h_n)=g(a)を満たす数列{h_n}でh_n≠0,h_n→0となるものが存在するなら、g’(a)=0がみちびけます。これは合成関数の微分の公式の証明に有用です。また、閉集合の定義の言い換えも数列によって表せて、これも閉集合の判定に有用です。

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