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点Pが円 (x-3)^2+y^2=1 上を動くとき、点Pと直線y=3x-1との距離が最小となる点Pの...

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ID非公開さん

2019/12/523:33:51

点Pが円 (x-3)^2+y^2=1 上を動くとき、点Pと直線y=3x-1との距離が最小となる点Pの座標を求めよ。また、その時の長さを求めよ。

早く解き方と答えを教えてくださった方にいいねします!よろしくお願いいたします!

x-3,座標,解き方,最小,点P,直線,半径

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ベストアンサーに選ばれた回答

jap********さん

2019/12/602:05:44

点Pが円C: (xー3)²+y²=1 上を動くとき、
点Pと直線ℓ:y=3xー1・・・・①との距離が最小となる点Pの座標を求めよ。
また、その時の長さを求めよ。

「回答」
点Pとℓ上の点との距離が最小値を取るときのℓ上の点をQとする。
また円Cの中心を点O₀(3,0)として,さらに線分O₀Qの長さをdとする。
➀式を直線の式の一般形に書きなおすと,
3x-y-1=0・・・・・➁となるので,
円の中心O₀とℓとの距離をdとすると,
「点と直線の距離の公式」から
d=|9-0-1|/√[9+1]
d=8/√10=(4√10/5)>1,であるから,
点Qは半径「1」の円Cの外側にあることがわかる。また,円C全体はその中心O₀の位置からして直線ℓの下の領域にある。

すると,題意から,点Q,点P,点O₀は一直線上にあり,(ここは解説略)
PQの値は,点O₀と直線ℓとの距離が最小になっているときに得られるから,
点Pと直線ℓとの距離の最小値PQは,
d-1=(4√10-5)/5・・・・・・・・・「答その1」

また,このとき直線PO₀をmとすると,mは点(3,0)を通り,直線ℓと直交しているので,mの傾きは➀式から「‐(1/3)」である。
すると,|PM/MO₀|=|-1/3|
また,√[1²+3²]=√10,であるから,
PO₀:PM:MO₀=√10:1:3・・・・・・・③が成立する。
実際には,PO₀=1(半径)であるから,上式から次の2つの「比の式」を得る。
㋐,1:PM=√10:1,から,PM=1/√10=√10/10


㋑,1:MO₀=√10:3,から,MO₀=3/√10
さらに,OM=3-(3/√10)=3(10-√10)/10


よって,㋐と㋑から,
点Pの座標は( 3( 10-√10)/10,(√10/10))「答その2」



最後に,ヤフ知恵には「いいね」のボタンはありません。あなたのように回答者を釣るような質問文は嫌でしたが,練習のために解かせていただきました。

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ベストアンサー以外の回答

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ran********さん

2019/12/600:39:31

y=3x-1と垂直で中心通る直線y=-1/3(x-3)と(x-3)^2+y^2=1の交点が2つあり,近い方が最小,遠い方が最大。

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