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数1で質問です。 問題 x²-y²=1を満たす自然数x,yは存在しないことを証明せよ ...

kum********さん

2020/1/1504:22:54

数1で質問です。
問題
x²-y²=1を満たす自然数x,yは存在しないことを証明せよ

答え
x²-y²=1を満たす自然数x,yは存在すると仮定する。

このときx²-y²=1から (x+y)(x-y)=1

x+y、x-yは整数であるから
(x+y=1かつx-y=1)または(x+y=-1かつx-y=-1)

以下、矛盾を導いて証明終了(省略)



この問題で「x+y、x-yは整数であるから」と、何故書くのでしょうか?
書かないと不都合な事があるのですか?

閲覧数:
181
回答数:
4

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ベストアンサーに選ばれた回答

yos********さん

2020/1/1505:13:56

整数でないなら、
x+y=2,x-y=1/2
という組もありになってしまいます。

質問した人からのコメント

2020/1/21 18:45:14

回答ありがとうございます!

ベストアンサー以外の回答

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MiTさん

2020/1/2005:14:49

x,yは自然数なわけですから、x,yは1以上の整数なわけですよね?(あくまで高校数学においての話ですが...)

ということは、x+yとx-yは整数の足し算と引き算になるわけですから計算結果は必ず整数になるはずです。

つまりx+yとx-yが整数であることは自明ですから、わざわざ書く必要はないかと。

私が昔やっていた東京出版の問題集でも、整数解の問題でこのケースと似たような式変形があるときにいちいち「整数であるから」などという自明な表現は書かれていませんでした。

yok********さん

2020/1/1504:35:41

(x+y)(x-y)=1だからx+y=1〜というのはx+yとx-yが整数だから成立することです。例えばx+y=3,x-y=1/3みたいな場合でも成立してしまうからです。

xとyが自然数のとき、ほぼ自明なことですがきちんと明言しておくことは必要です。

2020/1/1504:34:23

x+y、x-yが整数でなければ
その下記が成立しないからです

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