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扇形の断面二次モーメントの求め方を教えて下さい。

smw********さん

2009/1/1311:25:31

扇形の断面二次モーメントの求め方を教えて下さい。

扇形の断面二次モーメントを求める式は、
I=(α/4-4sin^2α/9α)*r^4
ではないのでしょうか?
面積と重心の位置から算出するとこういった式になると思うのですが…
この式ではα/sinα=4/3より小さい角度でIがマイナスになってしまいます。
考え方及び求め方を教えて下さい。
宜しくお願いします。

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boo********さん

2009/1/1717:14:30

>I=(α/4-4sin^2α/9α)*r^4

これは項がひとつ抜けているようですね。角度方向の積分に一箇所間違いがありませんか?

************************************
中心角 2α、半径 R の扇形において、その重心を通り弦に平行な軸に対する断面2次モーメント I を求める。x 軸を円の中心を原点として弦に平行に取り、x 軸からの距離を y とする。

扇形の面積 A は

A = R・(R・2α)/2 = αR^2 ------------ (1)

となる。また極座標表現での扇形上の位置 (r,θ)において dr,dθに対応する面積は rdrdθになるので、重心の y 座標 yG は下記のように計算できる。以下積分範囲はすべて (θ=-α~α、r=0~R) とする。

yG
= (1/A)・∫∫y・rdrdθ
= (1/A)・∫∫r・cosθ・rdrdθ
= (1/A)・∫cosθdθ∫r^2dr
= (1/A)・[sinθ]{θ=-α~α}・[r^3/3]{r=0~R}
= (1/A)・2sinα・R^3/3
= (2sinα・R^3/3)/(αR^2)
= 2Rsinα/(3α) ---------------------- (2)

次に断面2次モーメント I を求める。

I
= ∫∫(y-yG)^2・rdrdθ
= ∫∫(y^2 - 2y・yG + yG^2)・rdrdθ
= I1 - I2 + I3 ----------------------- (3)

ここに

I1 = ∫∫y^2・rdrdθ ----------------- (4)
I2 = 2yG・∫∫y・rdrdθ -------------- (5)
I3 = yG^2・∫∫rdrdθ ---------------- (6)

これらをそれぞれ計算すれば

I1
=∫∫y^2・rdrdθ
=∫∫r^3・(cosθ)^2 drdθ
=∫(cosθ)^2dθ・∫r^3 dr
=∫{1+cos(2θ)}/2dθ・∫r^3 dr
= [1/2+sin(2θ)/4]{θ=-α~α}・[r^4/4]{r=0~R}
= {α+sin(2α)/2}・R^4/4
= (α+cosα・sinα)・R^4/4
= (α/4 + cosα・sinα/4)・R^4 ------- (7)

I2
= 2yG・∫∫y・rdrdθ
= 2yG・∫∫r・cosθ・rdrdθ
= 2yG・∫cosθdθ・∫r^2dr
= 2yG・[sinθ]{θ=-α~α}・[r^3/3]{r=0~R}
= 2yG・2sinα・R^3/3
= 2・2Rsinα/(3α) ・2sinα・R^3/3
=(8/9)・(sinα)^2/α・R^4 ------------ (8)

I3
= yG^2・∫∫rdrdθ
= yG^2・∫dθ∫rdrdθ
= yG^2・2α・R^2/2
= {2Rsinα/(3α)}^2・2α・R^2/2
= (4/9)・(sinα)^2/α・R^4 ----------- (9)

これらの結果を (3) に入れて

I = {α/4 + cosα・sinα/4 - 4(sinα)^2/(9α)}・R^4 ---- (10)

質問した人からのコメント

2009/1/20 23:17:04

降参 回答ありがとうございました。
まだ整理がついていませんので、じっくり検証させてください。
ただ、私のは根本的に考え方が甘いようです。

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