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受験算数 集合の問題です。 40人の生徒が3題のクイズを解いたところ、正解の総...

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ID非公開さん

2020/5/2210:43:32

受験算数 集合の問題です。

40人の生徒が3題のクイズを解いたところ、正解の総数は85、不正解の総数は35で、3問すべて不正解の生徒はいませんでした。

1番ができた生徒は32人で、このうち2人はできたのが1番だけでした。また、1番はできなくて2番ができた生徒は7人いました。

(1)3番でけできた生徒は何人いますか?
(2)1番、2番、3番の全部ができた人が12人だとすると、2番と3番の両方できた人は何人ですか。

よろしければこの問題の解説をお願いいたします。
子供がベン図を書いて色々考えていましたがよくわからないようです。
3つの集合はどういった手順で考えるとよいかアドバイスいただけると助かります。

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cocaさん

2020/5/2211:37:32

(1)は添付画像上図のベン図を使います。
・全問不正解の生徒はいないので、赤枠が40人です。
・1番ができた32人中。1番のみの正解者2人なので、ピンク領域が2人。
・1番ができなくて2番ができた人は7人なので、黄色領域が7人。

知りたいのは青領域□人です。

□=40人(赤枠)ー32人(ピンク・あ・い・え)ー7人(黄)
ㅤ=1人

答え 1人 です。

(2)下の添付画像を使います。

3問正解者が12人とのことなので、ベン図の中央に12人と書込みます。
すると1番正解者が32人なので、

あ+い=32人ー(2人+12人)=18人 と分かります。

図で少し分かりずらいのですが、7人(黄色)というのは、「か」+「う」です。

ここから正解総数85という数字を生かします。

・中央の12人は全問正解なので、1人あたり正解を3つ出します。
・「あ、い、う」の領域の人は2問正解なので、1人あたり正解2つ。
・「お、か、き」の領域の人は1問正解なので、1人あたり正解1つ。

全部で85個の正解になればOK。知りたいのは2番と3番ができた人なので
「12人+う」です。

12×3+18(あ、い)×2+う×2+2(お)+か+1人(き)=85
整理すると

36+36+う×2+2+か+1=85
う+う+か=85-75
う+う+か=10
う+(う+か)=10 ※う+か=黄色=7人
う+7=10

より 「う」=3人 です。

知りたいのは2番、3番ができた人なので、12+う=12+3=15より

答え 15人 です。

▶補足

ピンク+黄色+青+(あ+い)×2+う+12×3=85 と立式しても良いです。

2+7+1+18×2+う+12×3=85
10+36+う+36=85
82+う=85
う=3

12人+3人=15人より 答え 15人

▶他にも不正解総数35に注目しても解けると思います。

(1)は添付画像上図のベン図を使います。
・全問不正解の生徒はいないので、赤枠が40人です。...

  • cocaさん

    2020/5/2219:39:32

    他の方の回答を拝見して補足です。

    >2番と3番の両方できた人は何人ですか。
    とい言葉の解釈ですが一般的には3問正解者を含むと思います。3問正解者も「2番と3番の両方できている」ので。

    2番・3番だけ正解(1番不正解)なら「う」の人数となり3人が正答となりますが、問題文が「2番と3番の両方ができた人」ということで、1番2番3番ができた人数も含めて私は回答しています。

    これは、hidさんとの違いと思います。確認いただけると幸いです。

    それからCherryさんの回答についても少し書いてみます。

    >ピンク+緑+紫+黄色=45人
    (ピンク+緑+紫)+黄×2=45問 ではないかと思います。
    ※ 黄色は×2が必要

    その次の、ピンク+緑+黄=30は正しい。

    そうすると、45-30は紫+黄=15

    となり2番3番ができた人(全問正解者を含む)が15人となるかなと。私が正しいとは限りませんが気になったもので、差し出がましくすみません。Cherryさんの方針はスマートかと思います。

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質問した人からのコメント

2020/5/25 11:44:09

作図までしていただき、丁寧で分かりやすい解説ありがとうございました。
回答していだだいた皆様に感謝です。

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hid********さん

2020/5/2216:16:19

(1)
全問不正解がいないことから
1番も2番もできなかった生徒が3番だけできた事になる
1番が出来なかった生徒
40-32=8人
このうち2番が出来た生徒は7人
8-7=1
答え1人
(2)
36+36+1+2+7-?+2?=85
72+10+?=85
?=3
答え3人

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カテゴリマスター

2020/5/2215:20:58

一例です。

>3つの集合はどういった手順で考えるとよいかアドバイスいただけると助かります。

◆3つの集合のベン図を描く時に添付画像のように7つの部分に分けられること及びその部分の意味について
(なお、a=問題1番、b=問題2番、c=問題3番と読み替えて頂ければと思います。)
・灰色→aだけ正解、黄緑→bだけ正解、水色→cだけ正解
・ピンク→aとbの2問正解、緑色→aとcの2問正解、紫色→bとcの2問正解
・黄色→aとbとcの3問とも正解

そこで、
【[aだけ+bだけ+cだけ+(aとb)+(aとc)+(b+c)+(a+b+c)]=40(人)】・・➀

そのあと、問題文から分かる数をベン図に描きこんでいく。

◆次に、生徒数と正解数を比較して正解総数が生徒数より多い数が、2問または3問正解している生徒数なので(ピンク+緑+紫+黄色)にあたることをおさえる。

そこで、
【[青丸(aが正解)+黒丸(bが正解)+赤丸(cが正解)=85(人)】・・・・・・・・・➁

➀・➁より
85-40=45(人) つまり、のべ45人が重複して(2問または3問)正解していることになります。【ピンク+緑+紫+黄色=45人】・・・・・・・・・・・・・・・・③

この辺がポイントではないでしょうか。

◆この辺をおさえて問題を解くことになりますが、

(1) 3番(添付画像の水色の部分)だけ生徒は何人いるか。

このCの人数は→[40人-(青丸+黄緑+紫)]で求めることができます。
<問題文より>
・青丸→32人 (なお灰色が2人なので、ピンク+緑+黄色=30人)・・・・・・・④
・(黄緑+紫)=7人

そこで、水色部分は

40-(32+7)
=1(人)

◆(2)1番、2番、3番の全部ができた人(黄色の部分)が12人だとすると、2番と3番の両方できた人は何人ですか。

・③より→【ピンク+緑+黄色+紫=45人】
・④より→【ピンク+緑+黄色=30人】だから、
紫部分は→45-30=15

答え:15人

一例です。

>3つの集合はどういった手順で考えるとよいかアドバイスいただけると助かります。
↓...

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