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【万有引力】【位置エネルギー】【基準点】大前提として位置エネルギーとはその保...

Habsj91727さん

2020/7/1001:00:02

【万有引力】【位置エネルギー】【基準点】大前提として位置エネルギーとはその保存力が行える仕事の大きさを指している、とします。(少し自信がないです。)

そこで万有引力による位置エネルギーの基準点を無限遠に運んだ方が便利な理由を調べており、以下のように式を求めたら良いのではと考えました。
変な点がありましたら突っ込んでください。
最後のシグマ計算も出来たらお願いします。

大きさ質量Mの物体と、小さな質量mの物体を考えます。
Mは原点0に固定していると考え、Mとmの距離をRで表します。
位置Rのmに働く力はMm/R²です。
ここで、mをごく小さい距離Δrだけ原点に向かって動かします。
1回目の移動後、働く力はMm/(R-Δr)²となります。
この移動で万有引力は(Mm/R²)×-Δr仕事をしました。
今度はR-Δrの位置から同じように微少な距離Δrだけ動かす、と言うのを繰り返して行える仕事の合計、Rでの位置エネルギーの大きさを考えます。
Σ{Mm/(R-NΔr)²×-Δr} N→∞
であの公式が求められると思うのです。

回答お待ちしております。

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yok********さん

2020/7/1009:46:54

あなたの計算は、基準点として原点を選択されたものになっています。

位置エネルギーとは、最も初歩的には、その位置にあることによって物体がもつエネルギー(仕事をする能力)ですが、あなたがおっしゃるように保存力が物体に対してできる仕事量と考えても同じです。その場合、保存力の下でその位置から「基準点まで」物体が移動するときに、保存力がする仕事であることに留意されてください。

つまり、無限遠を基準とする場合には、着目位置から無限遠まで物体が移動するときに万有引力がする仕事、と定義されます。

したがって、あなたの考察には誤りがあります。
①原点に向かって移動させるとき万有引力がする仕事は負ではなく、正です。
②原点に向かって移動させるとき万有引力は無限大に発散しますので、仕事の和は有限値に収束しません。

あなたの立式は、原点を基準としてしまっているのです。

正しい計算は次のような修正によって実現します。
①着目位置から外側に向かって仕事を足し算すること。したがって、万有引力の仕事は負になる。
②目標位置を無限遠とする極限をとること。

ちなみに、あなたの計算法は「区分求積法」といいますが、これはいわゆる「定積分」という演算と同値です。Mを原点に固定した場合、質点mの万有引力による位置エネルギーの定義は
U(r) = -∫{∞~r}[-GMm/r'^2] dr'
= - ∫{r~∞}GMm/r'^2 dr
= - GMm/r
となります。

参考:
https://ryebourbon.xsrv.jp/bisyohenka/

※↑こちらが「区分求積」を用いた説明

https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/bannyuuiti.html#:~:...

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