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楕円の面積を求めたい

ama********さん

2009/2/318:19:07

楕円の面積を求めたい

楕円の面積を求めたいのですが、何の疑いもなく解いたら、全く予想しないところで間違いがあり、困っています。

写真にも載せたのですが、楕円(x-1)^2/2+y^2=1 という楕円のx≧0とy軸で囲まれた面積を求めるのですが、
今まで参考書で学んだように、楕円上の点をパラメータ表示して、そのyをxで積分していく形を提示して、実は置換積分する、という方法でやってみました。

ところが、解答をみると、私の求め方では、y軸の正の部分しか求めていないので、私の場合は2倍しなければいけない、とのことです。

でも、なぜ私の式(写真をご覧下さい)ではy≧0の部分しか求められないことになるのでしょうか。

楕円の式は1つで全ての点を表わすのではないのでしょうか・・・。

補足積分区間は0から√2 +1までで、要は楕円を縦に細かく短冊状にスライスして幅dxに対してそれぞれ高さyをかけたものを足していくわけですよね? この場合の高さに相当するy(∫ydx のy)は、yの正の部分だけなのでしょうか? 楕円の図では、ひとつのxに対して上下対応するyがありますよね?

楕円,y軸,面積,x-1,パラメータ,上半分,方程式

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wat********さん

2009/2/319:06:27

yを積分するというのはy-0,つまりyと0の間の面積を求めていることになります。これだと上半分だから2倍すればいいわけです。

「ひとつのxに対して上下対応するyがある」ということで考えるなら,上の方をy1,下の方をy2として(y1-y2)の積分を求めることになります。その方法は
(1) y1=sinθ, y2=-sinθ と考える(0≦θ≦π/2)。
(2) どちらも式はsinθで,y1は0≦θ≦π/2,y2は-π/2≦θ≦0の範囲だと考える。
のどちらかになるでしょう。

質問した人からのコメント

2009/2/5 01:00:54

感謝 なるほど!y-0の積分だから上半分しか求めていないことになるわけですね!合点です!ありがとうございました。

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usa********さん

2009/2/321:52:59

きっちり積分される方の解答はすでにありますので、インチキをば。

y軸方向を√2 倍すれば半径√2、中心(1,0)の円が出来ます
そこでx≧0とy軸に囲まれた面積を求め(円なので積分いらないですよね)
でてきた面積を今度は1/√2倍してみましょう。

常に使える方法ではないですが、めんどくさい時にはお勧めですよ

tya********さん

2009/2/321:11:34

補足について

楕円の方程式をyについて解くとプラスとマイナスが出てきますよね?プラスのときは楕円の上半分の方程式を、マイナスのときは下半分の方程式をあらわしているということになります。ちなみに楕円の一般形の面積は、長軸半径をa、短軸半径をbとしたとき、πabで与えられます。

hat********さん

編集あり2009/2/318:32:51

積分区間に注目。
y の正の部分しかありませんよね。
つまり、これでは、楕円の上半分の面積を求めています。
だから、最後に 2 倍しましょう。

でも、楕円の面積の公式は πab 何ですけどねえ。
こっちを使うことが多いですよ(^^)v

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